[论文解读] Line-Bundles on Stacks of Relative Maps

Eric Katz|ArXiv.org|Jul 15, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文建立了相对与橡胶映射模堆栈上自然线丛之间的关系，使得相对 Gromov-Witten 不变量的退化公式成为可能。通过分析退化堆栈上的线丛系统及其虚拟循环，本文证明了平凡圆柱定理，这是相对 Gromov-Witten 理论中局部化形式系统所必需的技术性结果。

ABSTRACT

This paper provides some technical results needed in "Formalism for Relative Gromov-Witten Invariants." We study line-bundles on the moduli stacks of relative stable and rubber maps that are used to define relative Gromov-Witten invariants in the sense of J. Li. Relations between these line-bundles yield degeneration formulae. In addition we prove a technical result called the Trivial Cylinders Theorem.

研究动机与目标

• 研究相对与橡胶稳定映射模堆栈上自然线丛，以推导几何关系。
• 通过分析模堆栈纤维积上线丛之间的关系，建立退化公式。
• 通过线丛系统与虚拟循环，正式证明平凡圆柱定理，这是 [7] 中形式系统所必需的基础性技术结果。
• 通过其零点集，阐明线丛 $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$、$\operatorname{Split}$ 与 $\operatorname{L}^{\infty}$ 的几何意义。
• 为退化堆栈上及其通用目标的线丛系统提供系统性框架。

提出的方法

• 在退化堆栈 $\mathcal{Z}^{\text{rel}}$ 与 $\mathcal{A}^{\text{rel}}$ 的堆栈上线丛系统，通过其在包含映射与 $\mathbb{C}^*$-作用下的过渡性质进行定义。
• 在 $\mathcal{M}(\mathcal{Z},\Gamma)$ 上构造关键线丛：$\operatorname{Dil}$、$\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$；在 $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)$ 上构造：$\operatorname{Split}$、$\operatorname{L}^{0}$、$\operatorname{L}^{\infty}$、$\operatorname{L}_{i,\text{not top}}$、$\operatorname{L}_{i,\text{not bot}}$。
• 推导几何解释：$\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$ 的零点集对应第 $i$ 个标记点不映射到 $Z$ 的情形；$\operatorname{Split}$ 在分裂映射上消失。
• 利用纤维积构造 $\mathcal{M}(\mathcal{Z},\Gamma_Z) \times_{\mathcal{Z}^{\text{rel}}} \mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_A)$ 来建模分裂映射，并关联线丛。
• 应用虚拟拉回与 Gysin 映射比较虚拟循环：$[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}} = [\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times_{\mathcal{A}^{\text{rel}}} [{\mathcal{MT}}]$。
• 利用 Gysin 映射的自然性与锥循环分解，推导出 $v_*([\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}}) = \frac{1}{r}[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times [X]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对与橡胶映射堆栈上自然线丛在几何与上同调上如何相互关联？
• RQ2 模堆栈纤维积上线丛之间的何种关系能导出相对 Gromov-Witten 不变量的退化公式？
• RQ3 如何通过线丛系统与虚拟循环，正式建立平凡圆柱定理？
• RQ4 线丛 $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$、$\operatorname{Split}$、$\operatorname{L}^{\infty}$ 与 $\operatorname{L}_{i,\text{not top}}$ 的精确几何意义是什么？
• RQ5 通过纤维积与 $\mathbb{C}^*$-作用，分裂映射堆栈上的虚拟循环如何与原始模堆栈上的虚拟循环相关联？

主要发现

• 在 $\mathcal{M}(\mathcal{Z},\Gamma)$ 上，线丛 $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$ 满足 $\operatorname{ev}_i^*\mathcal{O}(D) = \operatorname{L}_{i,\text{ext}}$，意味着其零点集参数化第 $i$ 个标记点未映射到 $Z$ 的映射。
• 在 $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)$ 上，关系 $\operatorname{L}^0 \otimes \operatorname{L}^\infty = \operatorname{Split}$ 成立，且 $\operatorname{Split}$ 恰好在分裂映射上消失。
• 线丛 $\operatorname{L}_{i,\text{not top}}$ 与 $\operatorname{L}_{i,\text{not bot}}$ 分别满足 $\operatorname{L}^0 \otimes \operatorname{ev}_i^*L^\vee = \operatorname{L}_{i,\text{not top}}$ 与 $\operatorname{L}^\infty \otimes \operatorname{ev}_i^*L = \operatorname{L}_{i,\text{not bot}}$。
• 通过同构 $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|}) \cong \mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma) \times_{\mathcal{A}^{\text{rel}}} \mathcal{MT}$ 证明了平凡圆柱定理，表明虚拟循环的拉回满足 $[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}} = [\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times_{\mathcal{A}^{\text{rel}}} [{\mathcal{MT}}]$。
• 分裂映射堆栈的虚拟循环满足 $v_*([\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}}) = \frac{1}{r}[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times [X]$，其中 $r$ 为 $\mathbb{C}^*$-作用的次数。
• 该构造证实，分裂映射堆栈上的虚拟循环与乘积结构相容，并尊重 $\mathbb{C}^*$-等变形式系统，这对相对 Gromov-Witten 理论中的局部化至关重要。