[论文解读] Line operators in supersymmetric gauge theories and the 2d-4d relation

Takuya Okuda|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文通过2d-4d关系，利用局部化和CFT技术，精确计算了4d $σ=2$ 超对称 gauge 理论中BPS Wilson与't Hooft线算符的期望值，建立了该理论与2d共形场论之间的精确对应关系。结果表明，线算符代数同构于量子化 Hitchin 模空间，其非交换融合规则与辛对偶性及S对偶性相关联，为 $σ=4$ 和 $σ=2$ 理论在 $\mathbb{S}^4$ 与 $\mathbb{S}^3$ 上提供了精确结果。

ABSTRACT

This is the sixth article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J.Teschner. It is discussed how to use localisation techniques for the calculation of expectation values of Wilson and 't Hooft line operators. The results establish direct connections between supersymmetric line operators in gauge theories and the Verlinde line operators known from conformal field theory. Similar results can be used to strongly support connections to the quantum theories obtained from the quantisation of the Hitchin moduli spaces.

研究动机与目标

• 通过2d-4d关系，建立4d $σ=2$ 超对称 gauge 理论与2d共形场论之间的精确数学与物理对应关系。
• 利用在 $\mathbb{S}^4$ 与 $\mathbb{S}^3$ 上的局部化技术，精确计算BPS Wilson与't Hooft线算符的期望值。
• 通过权重格与余权重格中的电荷对线算符谱进行分类，并将其与黎曼曲面上的几何数据关联。
• 推导线算符的非交换代数，并证明其与量子化 Hitchin 模空间同构。
• 阐明离散 theta 角与相互局部性在 $\mathcal{N}=2$ 理论中线算符谱分类及S对偶性中的作用。

提出的方法

• 应用 Pestun 的局部化方法，在 $\mathbb{S}^4$ 上精确计算 Wilson 与 't Hooft 线算符的路径积分，将4d gauge 理论约化为有限维矩阵模型。
• 利用 AGT 对应关系，将4d线算符的期望值映射为2d Liouville CFT中的相关函数，其中 Verlinde 算符编码了融合规则。
• 通过单极子模空间上的超对称量子力学，构造线算符的算符乘积展开（OPE）。
• 将线算符的非交换代数与黎曼曲面 $C$ 和规范群 $G$ 的 Hitchin 模空间 $\mathcal{M}_H(C, G)$ 的量子化联系起来。
• 通过在带极点的黎曼曲面上紧化6d $(0,2)$ 理论，利用 $\mathcal{N}=2$ 类 $\mathcal{S}$ 构造实现2d-4d对应关系。
• 利用 $\mathbb{S}^3_b$ 边界上 $\mathcal{A}_b$ 与 $\mathcal{A}_{1/b}$ 杂化环之间的辛对偶性，推导出具有 $(-1)^{\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle}$ 统计性质的非阿贝尔融合规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 4d $\mathcal{N}=2$ gauge 理论中的BPS线算符如何通过2d-4d对应关系与2d CFT中的算符对应？
• RQ2 线算符代数的精确结构是什么？它与 Hitchin 模空间的量子化有何关系？
• RQ3 离散 theta 角与相互局部性条件如何约束 $\mathcal{N}=2$ 理论中线算符谱？
• RQ4 在 $\mathbb{S}^4$ 上的局部化结果与2d Liouville CFT相关函数之间的确切关系是什么？
• RQ5 S对偶变换如何作用于线算符谱及其融合规则？

主要发现

• 在 $\mathcal{N}=4$ 超杨-米尔斯理论中，半BPS 圆形 Wilson 算符的期望值由高斯矩阵模型精确计算，证实了 [4] 的猜想，且在 $1/N$ 与't Hooft耦合常数的所有阶上成立。
• 在 $\mathbb{S}^4$ 上的局部化给出了 Wilson 与 't Hooft 算符的精确结果，Instanton/单极子对应关系提供了电算符与磁算符之间的对偶性。
• 2d-4d对应关系将4d线算符映射为2d Liouville CFT中的 Verlinde 算符，其融合规则由 Liouville 理论的 $F$-符号编码。
• 线算符的非交换代数同构于 Hitchin 模空间上函数的量子化代数，其对易关系为 $L_{\gamma_1}^{(b)} \cdot L_{\gamma_2}^{(1/b)} = (-1)^{\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle} L_{\gamma_2}^{(1/b)} \cdot L_{\gamma_1}^{(b)}$。
• 相互局部线算符的谱受条件 $\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle$ 为偶数的约束，导致 Hitchin 模空间被有限群 $\Delta$ 商化。
• 对于 $A_1$-型类 $\mathcal{S}$ 理论，2d-4d对应关系通过黎曼曲面上的三价图 $\Gamma$ 实现，内部边对应 $SU(2)$ gauge 群，顶点处为三重表示物质。