[论文解读] Line-soliton and rational solutions to (2+1)-dimensional Boussinesq equation by Dbar-problem

Junyi Zhu|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文利用 $\bar{\partial}$-问题方法，研究了 (2+1)-维 Boussinesq 方程的线性孤子解与有理函数解，根据参数 $\varepsilon = \pm 1$ 区分 '+' 与 '-' 型方程。通过将 Dbar-穿衣方法应用于耦合非线性系统，作者推导出显式解：在 '+' 情况下为线性孤子解与类复孤子有理函数解，在 '-' 情况下则为新颖的 '狂浪' 解，特定有理函数解表现出非孤子型、能量喷射的特性。

ABSTRACT

We present a generalized (2+1)-dimensional Boussinesq equation, including two cases which are called the plus Boussinesq equation and the minus one. To investigate these equations, we apply the $\bar{\partial}$ approach to a coupled (2+1)-dimensional nonlinear equation, which reduces to the Boussinesq equation. For the plus equation, we give the line-solitons and rational solutions, for the minus one, we give some freak solutions.

研究动机与目标

• 利用 $\bar{\partial}$-问题方法，研究广义 (2+1)-维 Boussinesq 方程的可积性与显式解。
• 区分并分析两种情况：'$+$' Boussinesq 方程（$\varepsilon = 1$）与'$-$' Boussinesq 方程（$\varepsilon = i$）。
• 通过 Dbar 问题中退化核的选择，构造线性孤子解与有理函数解，扩展至标准孤子解之外的解。
• 探索新型解类型，包括 '-' 情况下的 '狂浪' 解，并与已知的 Darboux 变换结果进行比较。

提出的方法

• 将 Dbar-穿衣方法应用于一个耦合的 (2+1)-维非线性系统，该系统在消去 $v(x,y,t)$ 后可约化为广义 Boussinesq 方程。
• 在复 $k$-平面上建立 $\bar{\partial}$-问题：$\frac{\partial}{\partial\bar{k}}\chi(k,\bar{k}) = \iint \chi(\lambda,\bar{\lambda}) R(\lambda,\bar{\lambda};k,\bar{k}) \, d\lambda \wedge d\bar{\lambda}$，其中 $\chi \to 1$ 当 $k \to \infty$。
• 通过核 $R(\lambda,\bar{\lambda};k,\bar{k}) = e^{\theta(\lambda)} R_0(\lambda,\bar{\lambda};k,\bar{k}) e^{-\theta(k)}$ 构造解，其中 $\theta(k) = kx + \varepsilon k^3 y + \varepsilon(2k^3 + \frac{3}{2}k^2)t$。
• 对于有理函数解，利用在极点 $k_j = \xi \pm i\eta$ 处的留数构造矩阵 $M$、$M^{(a)}$ 与 $M^{(b)}$ 的行列式，通过 $\chi^{(-1)} = \det M^{(a)} / \det M$ 与 $\chi^{(-2)} = \det M^{(b)} / \det M$ 表达 $u$ 与 $v$。
• 该方法扩展至包含 Darboux 变换，使 $\varepsilon = 1$ 与 $\varepsilon = i$ 两种情况下的新有理函数解与狂浪解得以推导。
• 该方法可在统一的 Dbar 框架下同时处理两种方程类型，尽管其物理性质不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $\bar{\partial}$-问题生成 (2+1)-维 Boussinesq 方程的线性孤子解与有理函数解？
• RQ2 在 Dbar 方法下，'$+$' 与 '$-$' Boussinesq 方程（$\varepsilon = 1$ 与 $\varepsilon = i$）的解结构有何区别？
• RQ3 对于 '$+$' Boussinesq 方程的有理函数解，能否将其分类为孤子解？还是表现出不同行为？
• RQ4 '$-$' Boussinesq 方程中的 '狂浪' 解具有何种特征？与标准孤子解有何不同？
• RQ5 Dbar-穿衣方法与 Darboux 变换在推导广义 Boussinesq 方程两种情况下的解时，有何比较优势？

主要发现

• 对于 '$+$' Boussinesq 方程（$\varepsilon = 1$），该方法产生类复孤子型的线性孤子解，表现出周期性行为，以及非孤子型的有理函数解。
• 当 $\varepsilon = 1$ 且 $N=1$，$k_1 = \xi + i\eta$，$k_2 = \xi - i\eta$ 时，有理函数解产生非孤子型、能量喷射的表面图案，如图6与图7所示。
• 对于 '$-$' Boussinesq 方程（$\varepsilon = i$），该方法生成 '狂浪' 解——一种不寻常、瞬态且高度局域化的结构，在标准孤子理论中未见。
• 当 $\varepsilon = 1$ 时，有理函数解显式表示为 $u = 3\partial_x(\chi^{(-1)})$，其中 $\chi^{(-1)} = \frac{-2(\tilde{x} + \xi\tilde{y})}{(\tilde{x} + \xi\tilde{y})^2 + \eta^2\tilde{y}^2 - \frac{1}{4\eta^2}}$，且 $\tilde{x} = 1 + x - (\xi^2 + \eta^2)(3y + 6t)$，$\tilde{y} = 2\xi(3y + 6t) + 3t$。
• 通过扩展 Darboux 变换，获得新的有理函数解与狂浪解，其中特定解 $\varphi = a(x^3 + 6\varepsilon y + 9\varepsilon x t + 12\varepsilon t) + b x + c$ 在 $\varepsilon = 1$ 情况下产生方向性波扰动，如图8所示。