[论文解读] Linear Algebra in the vector space of intervals

Nicolas Goze|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Numerical Methods and Algorithms参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在区间向量空间 $\bar{\bb{R}}$ 上的线性代数框架，由于区间算术的非因子性，使得矩阵对角化可拥有超过 $n$ 个特征值。通过幂级数展开定义了一种新型指数映射，并利用中心特征值证明了对角化准则，将经典线性代数扩展至不确定性建模。

ABSTRACT

In a previous paper, we have given an algebraic model to the set of intervals. Here, we apply this model in a linear frame. We define a notion of diagonalization of square matrices whose coefficients are intervals. But in this case, with respect to the real case, a matrix of order $n$ could have more than $n$ eigenvalues (the set of intervals is not factorial). We consider a notion of central eigenvalues permits to describe criterium of diagonalization. As application, we define a notion of Exponential mapping.

研究动机与目标

• 建立实区间集合的严格向量空间与代数结构，以支持线性代数运算。
• 在区间系数背景下定义矩阵对角化，其中由于非因子算术的存在，$n \times n$ 矩阵可能拥有超过 $n$ 个特征值。
• 引入“中心特征值”作为区间矩阵可对角化的关键判据。
• 通过幂级数展开定义并表征区间矩阵的指数映射。
• 为求解具有区间不确定性的线性微分系统提供理论基础。

提出的方法

• 通过在 $\bb{IR} \times \bb{IR}$ 上定义等价关系，构造向量空间 $\bar{\bb{IR}}$，将区间嵌入四维实向量空间。
• 将 $\bar{\bb{IR}}$ 嵌入四维结合代数 $\bb{A}_4$，其具有非平凡乘法规则，保持单调性与分配律。
• 通过特征多项式 $C_A(\bb{X}) = a_n \textstyle\bigprod_{i=1}^n (\bb{X} \setminus \bb{X}_i)$ 定义区间矩阵特征值，其中 $\bb{X}_i$ 为区间根。
• 引入“中心特征值”作为关键判据：当每个特征值的几何重数等于其代数重数时，矩阵可对角化。
• 通过幂级数定义指数映射 $\text{Exp}(A)$，并利用特征值指数运算与相似变换，计算可对角化区间矩阵的指数。
• 利用 $\bb{A}_4$ 中区间的典范表示，计算特征子空间，并通过区间代数中的矩阵方程验证可对角化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于区间环非因子性，且 $n \times n$ 矩阵可能拥有超过 $n$ 个特征值，如何将线性代数扩展至区间矩阵？
• RQ2 区间矩阵可对角化的条件是什么？如何通过特征子空间与重数表征？
• RQ3 中心特征值在判断区间矩阵可对角化性中起什么作用？
• RQ4 在区间算术背景下，如何定义并计算矩阵指数？
• RQ5 所提出的框架能否用于求解具有区间系数的线性微分系统？

主要发现

• 由于区间环的非因子结构，$n \times n$ 区间矩阵可能拥有超过 $n$ 个特征值，这使得经典特征值重数假设失效。
• 可对角化性由条件刻画：每个特征值的几何重数（特征子空间维数）等于其代数重数，其中心特征值作为关键判据。
• 对于矩阵 $B_3 = \left(\begin{smallmatrix}[1,2] & [1,2] \\ [1,3] & [2,5]\end{smallmatrix}\right)$，计算出两个中心特征值：$\mathcal{X}_1 = \left(\left[\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{7+\sqrt{33}}{2}\right], 0\right)$ 与 $\mathcal{X}_3 = \left(\left[\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{7-\sqrt{33}}{2}\right], 0\right)$。
• 对应 $\mathcal{X}_1$ 的特征向量形式为 $\left(\begin{smallmatrix}([1,1],0) \\ \overline{\left[\frac{-3-\sqrt{33}}{2}, \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\right]}, 0\end{smallmatrix}\right)$，对应 $\mathcal{X}_3$ 的形式为 $\left(\begin{smallmatrix}([1,1],0) \\ \left[\frac{3-\sqrt{33}}{2}, \frac{1-\sqrt{5}}{4}\right], 0\end{smallmatrix}\right)$。
• 通过矩阵对角化计算矩阵指数 $\text{Exp}(B_3)$：$\text{Exp}(B_3) = P \cdot D \cdot P^{-1}$，其中 $D$ 为对角矩阵，其元素为 $\left(\text{exp}\left(\left[\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}, \frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\right]\right), 0\right)$。