[论文解读] Linear almost Poisson structures and Hamilton-Jacobi equation. Applications to nonholonomic Mechanics

Manuel de León, Juan Carlos Marrero+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 2008

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 21被引用 23

一句话总结

本文提出了一种基于线性几乎泊松结构与斜对称代数群的几何框架，用于推广非完整力学系统的哈密顿-雅可比方程。通过在允许速度的对偶丛上以哈密顿函数表述动力学，作者推导出一个广义的哈密顿-雅可比方程，该方程通过雅可比恒等式的失效来捕捉非完整约束，从而实现对约束与非约束系统的统一处理，并可应用于对称性约化与数值积分。

ABSTRACT

In this paper, we study the underlying geometry in the classical Hamilton-Jacobi equation. The proposed formalism is also valid for nonholonomic systems. We first introduce the essential geometric ingredients: a vector bundle, a linear almost Poisson structure and a Hamiltonian function, both on the dual bundle (a Hamiltonian system). From them, it is possible to formulate the Hamilton-Jacobi equation, obtaining as a particular case, the classical theory. The main application in this paper is to nonholonomic mechanical systems. For it, we first construct the linear almost Poisson structure on the dual space of the vector bundle of admissible directions, and then, apply the Hamilton-Jacobi theorem. Another important fact in our paper is the use of the orbit theorem to symplify the Hamilton-Jacobi equation, the introduction of the notion of morphisms preserving the Hamiltonian system; indeed, this concept will be very useful to treat with reduction procedures for systems with symmetries. Several detailed examples are given to illustrate the utility of these new developments.

研究动机与目标

• 将经典哈密顿-雅可比方程推广至非完整力学系统，其中动力学源于一个不满足雅可比恒等式的几乎泊松括号。
• 识别在非完整设定下哈密顿-雅可比方程背后的几何结构——即向量丛允许方向的对偶丛上的线性几乎泊松结构——作为在非完整情形下表述哈密顿-雅可比方程的最小框架。
• 发展一种形式化方法，通过哈密顿同态与轨道定理实现对称性约化，从而简化哈密顿-雅可比方程。
• 通过使用斜对称代数群结构与几乎微分，实现对非完整与非约束力学系统的几何统一。
• 为未来向时变系统、仿射约束、最优控制及经典场论的扩展奠定基础。

提出的方法

• 本文在允许方向丛 $D \to Q$ 的对偶丛 $D^*$ 上构造了一个线性几乎泊松结构，对应于 $D$ 上的斜对称代数群结构 $([\!\!\!,\!\!\!,\!], \rho_D)$。
• 通过函数 $h: D^* \to \mathbb{R}$ 定义哈密顿系统，其动力学由与几乎泊松张量 $\Lambda_{D^*}$ 相关的哈密顿向量场 $\mathcal{H}_h^{\Lambda_{D^*}}$ 生成。
• 将哈密顿-雅可比方程表述为 $\{S, h\}_{D^*} = 0$，其中 $S$ 是 $D^*$ 上的函数，该形式将经典方程推广至非泊松设定。
• 应用轨道定理通过沿作用轨道约化系统，特别适用于对称系统，从而简化哈密顿-雅可比方程。
• 引入哈密顿同态的概念，以保持哈密顿结构，从而实现对称系统系统的系统性约化。
• 推导出几乎泊松张量 $\Lambda_{D^*}$、几乎微分 $d^D$ 以及拉格朗日分布 $\mathcal{L}_{\alpha,D}$ 的正交补的局部坐标表达式，为验证与示例提供计算工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典哈密顿-雅可比方程推广至非完整力学系统，其中括号不满足雅可比恒等式？
• RQ2 非完整系统中哈密顿-雅可比方程背后的几何结构是什么？它与标准泊松情形有何不同？
• RQ3 如何利用轨道定理简化对称非完整系统中的哈密顿-雅可比方程？
• RQ4 哈密顿同态在约化具有对称性的非完整系统中起什么作用？
• RQ5 该形式化方法能否扩展至时变系统、仿射约束及最优控制问题？

主要发现

• 本文建立了 $D^*$ 上线性几乎泊松结构与 $D$ 上斜对称代数群结构之间的一一对应关系，为非完整系统提供了几何基础。
• 非完整系统的哈密顿-雅可比方程被表述为 $\{S, h\}_{D^*} = 0$，其中括号 $\{\cdot, \cdot\}_{D^*}$ 不满足雅可比恒等式，反映了动力学的非哈密顿性质。
• 轨道定理通过沿作用轨道约化系统，简化了哈密顿-雅可比方程，尤其在对称系统中效果显著。
• 引入了哈密顿同态的概念，并证明其能保持哈密顿结构，从而实现对称系统系统的系统性约化。
• 推导出几乎泊松张量 $\Lambda_{D^*}$ 与几乎微分 $d^D$ 的局部坐标表达式，使在具体示例中可进行显式计算与验证。
• 该形式化方法被应用于具体情形，包括 $A = TQ$ 与 $\bar{A} = TQ/G$，展示了其在经典非完整力学中的实用性。