[论文解读] Linear and Reed Solomon Codes Against Adversarial Insertions and Deletions.

Roni Con, Amir Shpilka+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2021

DNA and Biological Computing参考文献 41被引用 5

一句话总结

该论文构建了在小域上高效纠错对抗性插入删除错误的线性码，其速率接近半Singleton界。论文提出了对线性码在$﫲$上以及Reed-Solomon码的改进构造，显著提升了先前工作，实现了多项式时间解码，并降低了所需域的大小，同时保持了高抗错能力。

ABSTRACT

In this work, we study linear error-correcting codes against adversarial insertion-deletion (insdel) errors. We focus on two different settings: Linear codes over small fields: We construct linear codes over $\mathbb{F}_q$, for $q= ext{poly}(1/\varepsilon)$, that can efficiently decode from a $\delta$ fraction of insdel errors and have rate $(1-4\delta)/8-\varepsilon$. We also show that by allowing codes over $\mathbb{F}_{q^2}$ that are linear over $\mathbb{F}_q$, we can improve the rate to $(1-\delta)/4-\varepsilon$ while not sacrificing efficiency. Using this latter result, we construct fully linear codes over $\mathbb{F}_2$ that can efficiently correct up to $\delta < 1/54$ fraction of deletions and have rate $R = (1 - 54 \delta)/1216$. Cheng, Guruswami, Haeupler, and Li [CGHL21] constructed codes with (extremely small) rates bounded away from zero that can correct up to a $\delta < 1/400$ fraction of insdel errors. They also posed the problem of constructing linear codes that get close to the half-Singleton bound (proved in [CGHL21]) over small fields. Thus, our results significantly improve their construction and get much closer to the bound. Reed-Solomon codes: We prove that over fields of size $n^{O(k)}$ there are $[n,k]$ Reed-Solomon codes that can decode from $n-2k+1$ insdel errors and hence attain the half-Singleton bound. We also give a deterministic construction of such codes over much larger fields (of size $n^{k^{O(k)}}$). Nevertheless, for $k=O(\log n /\log\log n)$ our construction runs in polynomial time. For the special case $k=2$, which received a lot of attention in the literature, we construct an $[n,2]$ Reed-Solomon code over a field of size $O(n^4)$ that can decode from $n-3$ insdel errors. Earlier construction required an exponential field size. Lastly, we prove that any such construction requires a field of size $\Omega(n^3)$.

研究动机与目标

• 构建在小有限域上的线性码，以高效纠正恒定比例的对抗性insdel错误。
• 弥合现有构造与insdel错误纠正码的半Singleton界之间的差距。
• 提供确定性、高效的Reed-Solomon码构造，使其在合理大小的域上纠正最多$n-2k+1$个insdel错误。
• 将Reed-Solomon码所需的域大小从指数级降低至多项式或准多项式，尤其针对小的$k$值。
• 建立此类构造所需最小域大小的紧下界。

提出的方法

• 通过域扩张技术在$﫲$上构造线性码，其中码在$﫲$上线性但定义在$﫲^2$上，从而在不牺牲效率的前提下实现更高的速率。
• 设计一种解码算法，通过利用同步特性与多项式插值，高效处理insdel错误。
• 证明在大小为$n^{O(k)}$的域上，$[n,k]$ Reed-Solomon码可纠正$n-2k+1$个insdel错误，从而达到半Singleton界。
• 提供此类码在大小为$n^{k^{O(k)}}$的域上的确定性构造，当$k = O(\frac{\text{log } n}{\text{log }\text{log } n})$时可实现多项式时间解码。
• 对于$k=2$，构造一个在大小为$O(n^4)$的域上的$[n,2]$ Reed-Solomon码，可纠正$n-3$个insdel错误，显著优于先前所需的指数域大小。
• 建立所需域大小的下界为$訢(n^3)$，表明新构造在域大小上近乎最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在小域上构造线性码，以高效纠正恒定比例的对抗性insdel错误，同时接近半Singleton界？
• RQ2 构造能纠正$n-2k+1$个insdel错误的Reed-Solomon码所需的最小域大小是多少？
• RQ3 能否在子指数域大小上实现Reed-Solomon码在insdel错误下的确定性、多项式时间构造？
• RQ4 线性码在$﫲$上的速率如何随其能纠正的insdel错误比例而变化？
• RQ5 能否将$[n,2]$ Reed-Solomon码的域大小从指数级降低至多项式，同时保持高纠错能力？

主要发现

• 该论文在$﫲$上构造了线性码，可纠正高达$\frac{1}{54}$比例的删除错误，速率$R = \frac{1 - 54\theta}{1216}$，显著优于先前构造。
• 对于在$﫲$上的线性码，当使用$﫲^2$-线性时，速率可达$(1-\theta)/4 - 訢$，实现接近最优的性能。
• 在大小为$n^{O(k)}$的域上的Reed-Solomon码可纠正$n-2k+1$个insdel错误，因此达到半Singleton界。
• 提供了在大小为$n^{k^{O(k)}}$的域上此类Reed-Solomon码的确定性构造，当$k = O(\frac{\text{log } n}{\text{log }\text{log } n})$时可实现多项式时间解码。
• 对于$k=2$，构造了一个在大小为$O(n^4)$的域上的$[n,2]$ Reed-Solomon码，可纠正$n-3$个insdel错误，将所需域大小从指数级降低至多项式。
• 论文证明了任何此类构造所需的域大小下界为$訢(n^3)$，表明新构造在域大小上近乎最优。