[论文解读] Linear Batalin-Vilkovisky quantization as a functor of $\\infty$-categories

Owen Gwilliam, Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文将线性巴塔林-维尔科维茨（BV）量子化构造为∞-范畴之间的对称张量函子，利用导出与移位结构。它将魏尔（Weyl）量子化推广至具有(1−n)移位辛配对的余链复形，通过海森堡李代数与普遍包络代数建立到Eₙ代数的函子性量子化，并在导出几何与高阶BV理论中具有应用。

ABSTRACT

We study linear Batalin-Vilkovisky (BV) quantization, which is a derived and shifted version of the Weyl quantization of symplectic vector spaces. Using a variety of homotopical machinery, we implement this construction as a symmetric monoidal functor of $\\infty$-categories. We also show that this construction has a number of pleasant properties: It has a natural extension to derived algebraic geometry, it can be fed into the higher Morita category of $E_n$-algebras to produce a "higher BV quantization" functor, and when restricted to formal moduli problems, it behaves like a determinant. Along the way we also use our machinery to give an algebraic construction of $E_n$-enveloping algebras for shifted Lie algebras.

研究动机与目标

• 将线性巴塔林-维尔科维茨量子化形式化为∞-范畴语言中的函子。
• 将此构造扩展至导出代数几何与Eₙ代数等更高阶结构。
• 为BV量子化提供一个同伦框架，使其在形式模空间问题上表现如行列式一般。
• 利用∞-范畴工具，代数地构造移位李代数的Eₙ包络代数。

提出的方法

• 使用∞-范畴与模型范畴来定义模与操作代数，从而在交换微分分次代数上实现同伦代数。
• 将海森堡李代数构造应用于配备有(1−n)移位反对称配对的余链复形。
• 在∞-范畴层面上构造普遍包络代数函子，将经典构造提升至导出设定。
• 将量子化过程实现为从移位辛复形∞-范畴到E₀-代数（带基点复形）的对称张量函子。
• 在单纯范畴中使用纤维化替换与局部化技术来建模∞-范畴，并确保函子性。
• 应用该工具，通过将线性BV函子输入Eₙ-代数的高阶莫里塔∞-范畴，定义高阶BV量子化。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性BV量子化能否被形式化为∞-范畴之间的对称张量函子？
• RQ2 线性BV量子化如何扩展至导出代数几何与形式模空间问题？
• RQ3 BV量子化与导出几何中行列式构造之间有何关系？
• RQ4 如何利用∞-范畴方法代数地构造移位李代数的Eₙ包络代数？
• RQ5 海森堡李代数在高阶BV量子化与AKSZ型理论中扮演何种角色？

主要发现

• 线性BV量子化被实现为从配备有(1−n)移位辛配对的余链复形∞-范畴到E₀-代数∞-范畴的对称张量函子。
• 该构造自然地扩展至导出代数几何，保持函子性并兼容导出栈。
• 当限制在形式模空间问题时，线性BV函子表现如行列式，暗示其与几何朗兰兹纲领及指标理论之间存在深刻联系。
• 本文通过∞-范畴模型结构，提供了移位李代数的Eₙ包络代数的代数构造。
• 该量子化函子与高阶莫里塔理论相容，使得通过与莫里塔∞-范畴的复合，能够系统地构造高阶BV量子化函子。
• 导出与移位版本的魏尔量子化被证明是关于对称代数的形变量子化，其带有泊松括号，当ħ→0时恢复经典极限。