[论文解读] Linear chord diagrams on two intervals

Jørgen Ellegaard Andersen, Robert Penner+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文证明了在两个有序、定向的区间上，按亏格 $ g \geq 0 $ 和弦数 $ n $ 计数的线性 chord 图的生成函数，其形式为有理函数 $ \mathbf{C}_g^{[2]}(z) = z^{2g+1} R_g^{[2]}(z)/(1-4z)^{3g+2} $，其中 $ R_g^{[2]}(z) $ 是一个次数不超过 $ g $ 的整系数多项式，且满足 $ R_g^{[2]}(1/4) \neq 0 $。该结果扩展了关于单区间图的早期工作，并给出了将双区间多项式与单区间多项式关联的递推公式。

ABSTRACT

Consider all possible ways of attaching disjoint chords to two ordered and oriented disjoint intervals so as to produce a connected graph. Taking the intervals to lie in the real axis with the induced orientation and the chords to lie in the upper half plane canonically determines a corresponding fatgraph which has some associated genus $g\geq 0$, and we consider the natural generating function ${\bf C}_g^{[2]}(z)=\sum_{n\geq 0} {\bf c}^{[2]}_g(n)z^n$ for the number ${\bf c}^{[2]}_g(n)$ of distinct such chord diagrams of fixed genus $g\geq 0$ with a given number $n\geq 0$ of chords. We prove here the surprising fact that ${\bf C}^{[2]}_g(z)=z^{2g+1} R_g^{[2]}(z)/(1-4z)^{3g+2} $ is a rational function, for $g\geq 0$, where the polynomial $R^{[2]}_g(z)$ with degree at most $g$ has integer coefficients and satisfies $R_g^{[2]}({1\over 4}) eq 0$. Earlier work had already determined that the analogous generating function ${\bf C}_g(z)=z^{2g}R_g(z)/(1-4z)^{3g-{1\over 2}}$ for chords attached to a single interval is algebraic, for $g\geq 1$, where the polynomial $R_g(z)$ with degree at most $g-1$ has integer coefficients and satisfies $R_g(1/4) eq 0$ in analogy to the generating function ${\bf C}_0(z)$ for the Catalan numbers. The new results here on ${\bf C}_g^{[2]}(z)$ rely on this earlier work, and indeed, we find that $R_g^{[2]}(z)=R_{g+1}(z) -z\sum_{g_1=1}^g R_{g_1}(z) R_{g+1-g_1}(z)$, for $g\geq 1$.

研究动机与目标

• 确定在两个有序、定向区间上，固定亏格 $ g \geq 0 $ 的连通线性 chord 图的生成函数结构。
• 证明生成函数 $ \mathbf{C}_g^{[2]}(z) $ 为有理函数，与单区间图中发现的代数生成函数形成对比。
• 推导出一个递推公式，将多项式 $ R_g^{[2]}(z) $ 用单区间情形下已知的多项式 $ R_g(z) $ 表示。
• 计算低亏格下任意 $ n $ 的此类 chord 图的显式闭式表达式，并验证其与生成函数结构的一致性。

提出的方法

• 作者通过将 chord 嵌入上半平面并关联所得曲面的亏格，从 chord 图构造一个胖图（fatgraph）。
• 他们以单区间图的已知生成函数 $ \mathbf{C}_g(z) = z^{2g} R_g(z)/(1-4z)^{3g - 1/2} $ 作为基础。
• 他们推导出递推关系：$ R_g^{[2]}(z) = R_{g+1}(z) - z \sum_{g_1=1}^g R_{g_1}(z) R_{g+1-g_1}(z) $，将双区间与单区间多项式联系起来。
• 他们通过证明 $ P_g^{[2]}(z) = z^{-1} P_{g+1}(z) - \sum_{g_1=1}^g P_{g_1}(z) P_{g+1-g_1}(z) $ 是一个被 $ z^{2g+1} $ 整除且系数为正的多项式，从而证明 $ \mathbf{C}_g^{[2]}(z) $ 为有理函数。
• 他们显式计算了初始多项式 $ P_g^{[2]}(z) $，并利用生成函数运算和微分方程推导出 $ \mathbf{c}_g^{[2]}(n) $ 的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个区间上线性 chord 图的生成函数在亏格和弦数参数化下的代数结构是什么？
• RQ2 双区间图的生成函数如何与已知的单区间图的代数生成函数相关联？
• RQ3 双区间图生成函数的系数能否表示为有理函数？若是，其显式形式为何？
• RQ4 在两个区间上实现亏格 $ g $ 的图所需的最少弦数是多少？这如何影响生成函数的结构？

主要发现

• 生成函数 $ \mathbf{C}_g^{[2]}(z) $ 为有理函数，具体形式为 $ \mathbf{C}_g^{[2]}(z) = z^{2g+1} R_g^{[2]}(z)/(1-4z)^{3g+2} $，其中 $ R_g^{[2]}(z) $ 是一个次数不超过 $ g $ 的整系数多项式，且满足 $ R_g^{[2]}(1/4) \neq 0 $。
• 多项式 $ R_g^{[2]}(z) $ 满足递推关系 $ R_g^{[2]}(z) = R_{g+1}(z) - z \sum_{g_1=1}^g R_{g_1}(z) R_{g+1-g_1}(z) $，将双区间图与单区间图联系起来。
• 当 $ g=0 $ 时，具有 $ n $ 条弦的 chord 图数量为 $ \mathbf{c}_0^{[2]}(n) = n \cdot 4^{n-1} $。
• 当 $ g=1 $ 时，chord 圖数量为 $ \mathbf{c}_1^{[2]}(n) = \frac{1}{12}(13n+3)n(n-1)(n-2) \cdot 4^{n-3} $。
• 当 $ g=2 $ 时，chord 圖数量为 $ \mathbf{c}_2^{[2]}(n) = \frac{1}{180}(445n^2 - 401n - 210)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \cdot 4^{n-6} $。
• 在 $ P_g^{[2]}(z) $ 中 $ z^{2g+1} $ 的系数为 $ \mathbf{c}_g^{[2]}(2g+1) = \frac{(4g+4)!}{4^{g+1}(2g+3)!} $，该值与单区间上亏格 $ g+1 $、具有 $ 2g+2 $ 条弦的图的数量一致。