[论文解读] Linear clique-width and modular decomposition

Robert Brignall, Michal Opler+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2026

Advanced Graph Theory Research被引用 0

一句话总结

该论文证明：若一个遗传图类的素子成员具有有界线性团宽，则该类也有有界线性团宽，且该类避免包含所有准阈图或准阈图的补图；这将已知的从互补图到一般图类的结果从cograph推广至更一般的图类。

ABSTRACT

A hereditary class of graphs has bounded clique-width if and only if its prime members do, but this lifting property fails for linear clique-width. We prove that a hereditary class has bounded linear clique-width if and only if its prime members do and it contains neither all quasi-threshold graphs nor all complements of quasi-threshold graphs. This generalizes a result of Brignall, Korpelainen, and Vatter, who established the result for cographs.

研究动机与目标

• 基于素诱导子图确定一个遗传图类何时具有有界的线性团宽。
• 识别把有界线性团宽从素子提升到整个类的阻断因素。
• 将已知的从cograph到任意遗传类的结果推广。
• 提供一个基于模分解的框架，避免使用强WQO工具。

提出的方法

• 定义并使用线性团宽(lcw)及带标签的lcw表达式及其操作。
• 引入普遍准阈图Qt和共准阈图Qs，并展示它们的阻碍作用。
• 将模分解应用于G = H[Gv : v in V(H)]，并将lcw(G)与lcw(H)及lcw(Gv)联系起来（命题3.2–3.5）。
• 通过命题4.1给出一个关于素界限m和参数t,s的lcw上界(m+2)(t+s)。
• 避免使用WQO工具，而改用模分解与显式构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在素诱导子图的基础上，遗传图类何时具有有界的线性团宽？
• RQ2 准阈图及其补图是否是把有界lcw从素 lifting 到整个类的唯一阻碍？
• RQ3 模分解是否能给出一个直接的、非基于WQO的有界lcw刻画证明，适用于一般图类？

主要发现

• 一个遗传图类当且仅当其素成员具有有界lcw且不包含所有准阈图亦不包含所有共-准阈图时，才具有有界线性团宽（定理1.2）。
• 准阈图及其补图是从素提升到整个类的有界lcw的唯一阻碍（推广自cograph的结果）。
• 对于G = H[Gv : v in V(H)]，lcw(G) ≤ lcw(H) + max_v lcw(Gv)（命题3.2）；当H为完全或反完全时，该界限可改进为 lcw(G) ≤ 1 + max_v lcw(Gv)（命题3.3）。
• 若图G具有素诱导子图的lcw ≤ m且lcw(G)很大（≥ (m+2)(t+s)），则G包含Qt或Qs作为诱导子图（命题4.1）。