[论文解读] Linear collective collocation and Galerkin approximations for parametric and stochastic elliptic PDEs

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 3

一句话总结

本文提出了针对具有仿射参数依赖关系的高维参数型与随机椭圆PDE的线性集体逼近方法——泰勒法、配点法与伽辽金法。在较弱的正则性条件下，这些方法的收敛速率与底层的非参数有限元逼近方法相同，有效打破了维度灾难，同时保持了具有显式常数估计的最优误差界。

ABSTRACT

Consider the parametric elliptic problem \begin{equation} - \operatorname{dv} \big(a(y)(x) abla u(y)(x)\big) \ = \ f(x) \quad x \in D, \ y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} \ = \ 0, \end{equation} where $D \subset {\mathbb R}^m$ is a bounded Lipschitz domain, $[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, and the diffusions $a$ satisfy the uniform ellipticity assumption and are affinely dependent with respect to $y$. The parametric variable $y$ may be deterministic or random. In the present paper, a central question to be studied is as follows. Assume that we have an approximation property that there is a sequence of finite element approximations with a certain error convergence rate in energy norm of the space $V:=H^1_0(D)$ for the nonparametric problem $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x) abla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ at every point $y_0 \in [-1,1]^\infty$. Then under what assumptions does this sequence induce a sequence of finite element approximations with the same error convergence rate for the parametric elliptic problem in the norm of the Bochner spaces $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ or $L_2([-1,1]^\infty,V)$? We solved this question by linear collective Taylor, collocation and Galerkin methods, based on Taylor expansions, Lagrange polynomial interpolations and Legendre polynomials expansions, respectively, on the parametric domain $[-1,1]^\infty$. Under very light conditions, we show that all these approximation methods give the same error convergence rate as that by the sequence of finite element approximations for the nonparametric elliptic problem. The parametric infinite-variate part completely disappears from the convergence rate and influences only the constant. Hence the curse of dimensionality is broken by linear methods.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，针对非参数椭圆PDE的给定收敛速率的有限元逼近序列，能诱导出对应参数型问题在Bochner范数下的相同收敛速率。
• 解决高维参数型PDE中参数数量可能为可数无穷时的维度灾难问题。
• 提出一种线性集体逼近方案，将空间变量与参数变量联合处理，避免分离分解。
• 在Bochner空间 $L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ 与 $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ 中建立与非参数速率一致的误差收敛速率。
• 证明尽管参数依赖性会影响常数，但在仿射依赖关系与 $\ell_p$-可 summability 条件下，不会降低收敛速率。

提出的方法

• 在无限维参数域 $\mathbb{I}^\infty$ 上，利用泰勒展开、拉格朗日插值与勒让德多项式展开，构建线性集体泰勒法、配点法与伽辽金法逼近。
• 以非参数问题的有限元逼近序列为基准，诱导出参数型问题的集体逼近框架。
• 采用基于勒让德展开的方法，其中序列 $\sigma_s$ 定义为 $\sigma_s^{-1} = \frac{|s|!}{s!} b^s$，其中 $b$ 控制参数导数的衰减速率。
• 施加 $\ell_p$-可 summability 条件 $\|\psi_j\|_{W^{1}_\infty(D)} \in \ell_p(\mathbb{N})$（$0 < p < 1$）以控制参数正则性。
• 通过序列 $\sigma_s$ 估计参数导数的增长，并结合插值与逼近理论，推导出Bochner范数下的误差界。
• 证明在扩散系数与区域正则性满足较弱假设的条件下，$L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ 或 $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ 中的收敛速率与非参数速率一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，针对非参数椭圆PDE的有限元逼近序列，能在Bochner范数下诱导出与参数型问题相同的收敛速率？
• RQ2 线性集体方法是否能打破具有无限维参数空间的参数型椭圆PDE中的维度灾难？
• RQ3 仿射参数依赖关系与导数系数的 $\ell_p$-可 summability 如何影响集体逼近的收敛速率？
• RQ4 在多大程度上可利用参数正则性，实现最优收敛速率，而无需分离空间与参数变量？
• RQ5 能否使用线性、非侵入式方法，在 $L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ 与 $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ 中保持相同的收敛速率？

主要发现

• 线性集体伽辽金法与配点法的收敛速率与基础非参数有限元逼近方法相同，为 $n^{-\min(1/p - 1, \alpha)}$，且显式常数 $C$ 依赖于 $\|\sigma^{-1}\|_{\ell_p(\mathbb{F})}$。
• 当 $p = \frac{1}{1 + \alpha}$ 时，收敛速率简化为 $n^{-\alpha}$，与非参数速率完全一致。
• 该方法在无需空间与参数变量可分离的前提下实现了最优收敛，通过张量化逼近空间联合处理两者。
• 维度灾难被打破：在参数导数系数满足 $\ell_p$-可 summability 条件下，收敛速率与参数维数无关，即使 $d = \infty$ 亦成立。
• 误差界中的常数 $C$ 被显式估计，且仅依赖于系数序列的 $\ell_p$-范数与问题数据，与维数无关。
• 若假设 $a(y)$、$f$ 与 $D$ 具有足够的正则性，则结果可推广至任意 $\alpha > 0$，表明其适用范围超出当前正则性约束。