[论文解读] Linear continuous functionals on FN-type spaces

Sorin G. Gal|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过展示线性连续泛函源自关联的区间值函数空间上的线性泛函，表征了FN型空间——即模糊数取值函数的完备度量空间——上的线性连续泛函。关键结果表明，$ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 和 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上的此类泛函分别通过模糊数的逐水平表示，对应于 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 和 $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上的泛函，但关于所有此类泛函的完整表征仍存在开放问题。

ABSTRACT

By using the space of fuzzy numbers, in e.g. [5] have been considered several complete metric spaces (called here {\bf FN}-type spaces) endowed with addition and scalar multiplication, such that the metrics have nice properties but the spaces are not linear, i.e. are not groups with respect to addition and the scalar multiplication is not, in general, distributive with respect to usual scalar addition. This paper deals with the form of linear continuous functionals defined on these spaces.

研究动机与目标

• 表征FN型空间上线性连续泛函的结构，这些空间是模糊数取值函数的完备度量空间，但并非经典意义下的线性空间。
• 通过模糊数的逐水平表示，弥合模糊数取值函数空间与其关联的区间值函数空间之间的鸿沟。
• 在模糊函数空间上的线性连续泛函与底层连续或可积区间值函数空间上的泛函之间建立对应关系。
• 为这类泛函在 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 和 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 中存在积分表示提供充分条件。

提出的方法

• 通过水平集 $ [u]^{r} = [u_{-}(r), u_{+}(r)] $ 表示每个模糊数 $ u \in \mathbf{R}_{\mathcal{F}} $，映射 $ u \mapsto (u_{-}, u_{+}) \in \overline{C}[0,1] \times \overline{C}[0,1] $，其中 $ \overline{C}[0,1] $ 是具有一致范数的有界、在(0,1]上左连续、在0处右连续的函数空间。
• 将FN型空间定义为 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $、$ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 和 $ l^p_{\mathbf{R}_{\mathcal{F}}} $，并配备由 $ \overline{C}[0,1] $ 上的一致范数导出的度量。
• 在区间值函数空间的可 dense 子空间 $ A $（或 $ FA $）上构造一个线性泛函 $ L_0 $，利用模糊函数空间上给定的泛函 $ x^* $。
• 利用目标空间的完备性，将 $ L_0 $ 延拓为 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 或 $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上的连续线性泛函 $ L $。
• 证明模糊空间上每个线性连续泛函 $ x^* $ 均可表示为 $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $，其中 $ L $ 是关于上确界或 $ L^p $-型度量的连续线性泛函。
• 为这类泛函提供充分的积分表示，涉及连续的 $ h_1 $ 和有界变差函数或 $ L^q $ 函数的 $ h_2 $，但尚不清楚所有泛函是否均为此类形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 FN型空间如 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 和 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上线性连续泛函的一般形式是什么？
• RQ2 是否每个 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上的线性连续泛函均可表示为 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上连续泛函与逐水平映射 $ x \mapsto (x_{-}, x_{+}) $ 的复合？
• RQ3 所有 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上的线性连续泛函是否均可通过涉及 [0,1] 上连续函数和 [a,b] 上 $ L^q $-函数的积分表示？
• RQ4 模糊空间上的泛函与区间值函数空间上的泛函之间的对应关系是否完备，还是存在超出所构造类别的泛函？
• RQ5 在稠密子空间上构造的 $ L_0 $ 是否可扩展为对这些FN型空间上所有连续线性泛函的完整表征？

主要发现

• 每个 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上的线性连续泛函 $ x^* $ 均可表示为 $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $，其中 $ L $ 是关于一致度量 $ \Delta(F,G) = \sup_{t \in [a,b]} ||F(t) - G(t)|| $ 的 $ C([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上的连续线性泛函。
• 此类泛函的一类可表示为积分形式：$ x^*(x) = \int_a^b \left\{ \int_0^1 h_1(s) \, d[x(t)_{-}(s) + x(t)_{+}(s)] \right\} d[h_2(t)] $，其中 $ h_1 $ 在 [0,1] 上连续，$ h_2 $ 在 [a,b] 上有界变差。
• 对于 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $，每个线性连续泛函 $ x^* $ 满足 $ x^*(x) = L(x_{-} + x_{+}) $，其中 $ L $ 是关于 $ L^p $-型度量 $ \Delta_p(F,G) = \left( \int_a^b ||F(t) - G(t)||^p dt \right)^{1/p} $ 的 $ L^p([a,b];\overline{C}[0,1]) $ 上的连续泛函。
• 在 $ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 上，一类充分的泛函由下式给出：$ x^*(x) = \int_a^b \left\{ \int_0^1 h_1(s) \, d[x(t)_{-}(s) + x(t)_{+}(s)] \right\} h_2(t) \, dt $，其中 $ h_1 \in C[0,1] $，$ h_2 \in L^q([a,b]) $，且 $ 1/p + 1/q = 1 $。
• 在 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 的稠密子空间 $ FA $ 上构造泛函 $ L_0 $，定义为 $ L_0(U) = x^*(V) $，其中 $ V $ 由 $ F, G \in CIC[0,1] $ 重构，这是延拓论证的关键。
• 本文未解决的问题是：所有 $ C([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $、$ L^p([a,b];\mathbf{R}_{\mathcal{F}}) $ 和 $ l^p_{\mathbf{R}_{\mathcal{F}}} $ 上的线性连续泛函是否均被所提出的积分形式或泛函对应关系所涵盖。