[论文解读] Linear differential systems over the quaternion skew field

Ivan Kyrchei|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文利用列-行行列式这一新颖的非交换行列式框架，为一阶线性四元数微分系统（LQDS）建立了全面的理论。通过列-行行列式方法，利用四元数Drazin逆，推导出常系数矩阵（可逆与奇异）系统的通解的行列式表示，并提供了数值验证。

ABSTRACT

A basic theory on the first order right and left linear quaternion differential systems (LQDS) is given systematic in this paper. To proceed the theory of LQDS we adopt the theory of column-row determinants recently introduced by the author. In this paper, the algebraic structure of their general solutions are established. Determinantal representations of solutions of systems with constant coefficient matrices and sources vectors are obtained in both cases when coefficient matrices are invertible and singular. In the last case, we use determinantal representations of the quaternion Drazin inverse within the framework of the theory of column-row determinants. Numerical examples to illustrate the main results are given.

研究动机与目标

• 为四元数斜域上的右型与左型一阶线性四元数微分系统（LQDS）建立系统性理论。
• 克服在四元数上定义行列式和求解线性系统时因非交换性带来的挑战。
• 建立常系数矩阵LQDS通解的代数结构。
• 当系数矩阵可逆或奇异时，利用Drazin逆推导解的行列式表示。
• 通过列-行行列式框架提供数值示例以验证理论结果。

提出的方法

• 采用作者近期提出的列-行行列式理论，以处理四元数代数中的非交换矩阵行列式。
• 在列-行行列式框架内，应用四元数Drazin逆的行列式表示，用于奇异系统。
• 通过列与行行列式，应用类似克莱姆法则的方法，显式表达解。
• 采用基本解矩阵与解的结构理论，并将其适配到四元数的非交换设定中。
• 推导出常系数LQDS的通解公式，区分系数矩阵可逆与奇异的情形。
• 通过使用Maple与CLIFFORD工具包计算的数值示例验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于四元数的非交换性，如何建立线性四元数微分系统的连贯理论？
• RQ2 在四元数斜域上，一阶LQDS通解的代数结构是什么？
• RQ3 当系数矩阵奇异时，如何构建解的行列式表示？
• RQ4 能否利用列-行行列式，以行列式形式表示四元数矩阵的Drazin逆？
• RQ5 如何计算并验证常系数LQDS的数值解？

主要发现

• 本文利用列-行行列式，建立了右型与左型线性四元数微分系统的通解结构。
• 对于可逆系数矩阵的系统，推导出解的行列式表示，将克莱姆法则推广至四元数。
• 对于奇异系数矩阵，解通过Drazin逆表示，其行列式表示基于列-行行列式。
• 一个数值示例验证了理论解：系统具有通解，其分量为 x₁ = 0.5j + (-0.5 + 0.5j)t，x₂ = -0.5i - 0.5k，x₃ = 0.5k + (0.5i - 0.5k)t。
• 该方法成功处理了非交换行列式，并可通过Maple与CLIFFORD工具包等符号计算工具实现显式解的计算。
• 该方法为求解LQDS提供了连贯且可计算的框架，即使在系数矩阵奇异或不可逆时亦成立。