[论文解读] Linear equations of motion for massless particles of any spin in any even dimensional spaces

Bojan Gornik, Norma Mankoč Borštnik|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2001

International Science and Diplomacy参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文证明，在偶数维度时空 $ d = 2n $ 中，任意自旋的自由无质量粒子必须满足动量线性方程，具体为 $ (W^a = \alpha p^a)\langle\Phi| $，其中 $ W^a $ 为广义的泡利-略宾斯基矢量。该结果源于对庞加莱对称性和不可约性的要求，将四维时空无质量场的标准线性动力学推广至任意偶数维度，且对旋量和高阶张量给出了显式构造。

ABSTRACT

It is proven that the Poincare symmetry determines equations of motion, which are for massless particles of any spin in d-dimensional spaces linear in the momentum. The proof is made only for even d and for fields with no gauge symmetry. We comment on a few examples. We pay attention only to spin degrees of freedom.

研究动机与目标

• 建立偶数维度时空 $ d = 2n $ 中庞加莱对称性强制无质量场的运动方程在动量 $ p^a $ 上为线性。
• 将泡利-略宾斯基矢量 $ W^a $ 推广至更高偶数维度，并定义其在表征无质量粒子态中的作用。
• 证明偶数维度中庞加莱群的不可约表示对应于满足 $ (W^a = \alpha p^a)|\Phi\rangle $ 的解，其中 $ \alpha $ 由自旋和手征性决定。
• 展示这些方程在偶数维度中约化为已知的广义麦克斯韦方程，适用于反对称张量场。
• 阐明通过反对称坐标描述的自旋与电荷内部空间在统一时空与规范自由度中的作用。

提出的方法

• 利用列维-奇维塔符号和洛伦兹生成元 $ S^{ab} $ 在 $ d = 2n $ 维中推导广义泡利-略宾斯基矢量 $ W^a $。
• 通过反对称坐标引入内部空间，定义与所有庞加莱生成元对易的手征性算符 $ \Gamma^{(int)} $。
• 将算符 $ \bar{S}_v^{ab} $ 构造为动量与自旋算符的复合，通过 $ \Gamma^{(int)} $ 与 $ W^a $ 关联。
• 施加条件 $ \Gamma^{(int)} = \pm 1 $ 以确保不可约性，并固定归一化常数如 $ \rho = \frac{2^{n-2}}{(d-2)!} $。
• 利用恒等式 $ \bar{S}_v^{ab ight} = -i\Gamma^{(int)} S_v^{ab} $ 推导出方程 $ p_b \bar{S}_v^{ab} = \Gamma^{(int)} p^a $，其等价于主运动方程。
• 证明方程 $ p_b \theta^b = 0 $ 和 $ p_b p_\theta^b = 0 $ 与 $ d $ 维中的广义麦克斯韦方程等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在偶数维度时空 $ d = 2n $ 中，庞加莱对称性是否唯一强制任意自旋无质量场的运动方程在动量上为线性？
• RQ2 如何在 $ d = 2n $ 维中一致地定义广义泡利-略宾斯基矢量 $ W^a $，以表征无质量粒子态？
• RQ3 通过反对称坐标描述的自旋与电荷内部空间在确保运动方程的不可约性和一致性中起什么作用？
• RQ4 所导出的方程在偶数维度中如何约化为反对称张量场的已知广义麦克斯韦方程？
• RQ5 能否从自旋和手征性量子数代数地确定 $ W^a = \alpha p^a $ 中的常数 $ \alpha $？

主要发现

• 在施加庞加莱对称性和不可约性条件下，偶数维度时空 $ d = 2n $ 中无质量场的运动方程在动量 $ p^a $ 上必为线性。
• 广义泡利-略宾斯基矢量 $ W^a $ 通过 $ W^a = \rho \varepsilon^{ab}_{a_1\ldots a_{d-2}} p_b S^{a_1 a_2} \cdots S^{a_{d-3} a_{d-2}} $ 构造，其中 $ \rho = \frac{2^{n-2}}{(d-2)!} $ 对旋量成立。
• 方程 $ (p_b \bar{S}_v^{ab} = \Gamma^{(int)} p^a)|\Phi\rangle $ 等价于 $ (W^a = \alpha p^a)|\Phi\rangle $，其中 $ \alpha = \frac{\vec{S} \cdot \vec{p}}{|p^0|} $，且在所有偶数维度中对所有自旋成立。
• 条件 $ p_b \theta^b = 0 $ 和 $ p_b p_\theta^b = 0 $ 是运动方程的必要且充分约束，且对应于 $ d $ 维中的广义麦克斯韦方程。
• 对旋量，$ \alpha = \pm \frac{1}{2} $，且归一化常数 $ \rho $ 确保自旋本征值与四维闵可夫斯基空间中的结果一致。
• 通过反对称坐标描述的内部空间形式化允许对时空与自旋/电荷自由度进行统一的几何描述，且 $ \Gamma^{(int)} = \pm 1 $ 确保不可约性。