[论文解读] Linear identification of nonlinear systems: A lifting technique based on the Koopman operator

Alexandre Mauroy, Jorge Gonçalves|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的间接方法，通过科波曼算子将非线性动力系统问题提升至可观测函数的无限维空间，从而能够利用线性系统辨识技术恢复多项式向量场。该方法在低采样率数据下实现了对不稳定、混沌及开放系统的鲁棒、抗噪声辨识，且在重构向量场和网络拓扑方面表现出色。

ABSTRACT

We exploit the key idea that nonlinear system identification is equivalent to linear identification of the socalled Koopman operator. Instead of considering nonlinear system identification in the state space, we obtain a novel linear identification technique by recasting the problem in the infinite-dimensional space of observables. This technique can be described in two main steps. In the first step, similar to the socalled Extended Dynamic Mode Decomposition algorithm, the data are lifted to the infinite-dimensional space and used for linear identification of the Koopman operator. In the second step, the obtained Koopman operator is "projected back" to the finite-dimensional state space, and identified to the nonlinear vector field through a linear least squares problem. The proposed technique is efficient to recover (polynomial) vector fields of different classes of systems, including unstable, chaotic, and open systems. In addition, it is robust to noise, well-suited to model low sampling rate datasets, and able to infer network topology and dynamics.

研究动机与目标

• 解决从有限、噪声或低采样率数据中辨识非线性动力系统的问题。
• 通过将非线性辨识重新表述为可观测空间中的线性辨识，弥合科波曼算子理论与数据驱动系统辨识之间的差距。
• 开发一种避免直接估计时间导数的方法，因为低采样率下该估计不可行。
• 实现对向量场（包括不稳定和混沌系统）的精确恢复，并从轨迹数据中推断网络拓扑。
• 提供一种基于线性方法的鲁棒系统辨识框架，适用于小样本数据和复杂动力学。

提出的方法

• 通过科波曼算子将非线性系统提升至可观测函数的无限维空间，使系统动力学变为线性。
• 在此空间中使用快照数据执行科波曼算子的线性辨识，类似于扩展动态模态分解（EDMD）算法的一个组成部分。
• 通过线性最小二乘问题将辨识出的科波曼算子投影回有限维状态空间，以恢复原始向量场的系数。
• 该方法依赖于多项式函数的有限基来近似科波曼算子，从而实现数值计算。
• 通过与文献[4]中类似的推导，将科波曼算子的无穷小生成元与向量场进行解析关联，实现非线性动力学的重构。
• 通过在数据生成和辨识过程中引入噪声模型，将该方法扩展至处理具有过程噪声和输入的开放系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过科波曼算子将非线性系统辨识有效重构为可观测空间中的线性辨识？
• RQ2 该提升技术在低采样率、含噪声的轨迹数据下，对多项式向量场的恢复效果如何？
• RQ3 该方法在不稳定或混沌系统中对测量噪声和过程噪声的鲁棒性如何？
• RQ4 能否从有限的轨迹数据中准确重构网络拓扑和动力学？
• RQ5 与需要时间导数估计的直接方法相比，该方法的性能如何？

主要发现

• 在10次模拟的平均下，该方法在含有外力项的二维非线性系统中恢复向量场系数的均方根误差（RMSE）为0.025。
• 在强过程噪声（σproc = 1）条件下，该方法仍保持鲁棒性，RMSE为0.078，表明对测量噪声和过程噪声均具有强韧性。
• 对于具有复杂非线性相互作用的十二维系统，使用1500个数据点时RMSE为0.021，仅使用300条轨迹时RMSE仍为0.151，表明方法具有有效性。
• 采用阈值0.1进行网络重构，真阳性率为0.875，假阳性率为0.023，表明在识别真实连接方面具有高精度。
• 该方法不仅能推断网络中连接的存在，还能推断其类型（如二次、三次）和权重（系数值）。
• 该方法适用于低采样率数据，且避免了时间导数估计，因此适用于具有稀疏测量的现实世界生物和工程系统。