[论文解读] Linear kernels for edge deletion problems to immersion-closed graph classes

Archontia C. Giannopoulou, Michał Pilipczuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 12

一句话总结

本文提出了一种线性核及针对 F-浸入删除问题的高效算法，该问题旨在通过删除至多 k 条边，使图中不包含有限族 F 中任意图作为浸入。在 F 中所有图均为连通图，且至少一个为平面图且为子立方图的条件下，作者实现了常数因子近似、线性核以及 FPT 算法，且核大小仅依赖于 F 的乘法常数——与基于图子式的对应结果不同，后者中指数高度依赖于 F。

ABSTRACT

Suppose $\\mathcal{F}$ is a finite family of graphs. We consider the following meta-problem, called $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion: given a graph $G$ and integer $k$, decide whether the deletion of at most $k$ edges of $G$ can result in a graph that does not contain any graph from $\\mathcal{F}$ as an immersion. This problem is a close relative of the $\\mathcal{F}$-Minor Deletion problem studied by Fomin et al. [FOCS 2012], where one deletes vertices in order to remove all minor models of graphs from $\\mathcal{F}$. We prove that whenever all graphs from $\\mathcal{F}$ are connected and at least one graph of $\\mathcal{F}$ is planar and subcubic, then the $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion problem admits: a constant-factor approximation algorithm running in time $O(m^3 \\cdot n^3 \\cdot \\log m)$; a linear kernel that can be computed in time $O(m^4 \\cdot n^3 \\cdot \\log m)$; and a $O(2^{O(k)} + m^4 \\cdot n^3 \\cdot \\log m)$-time fixed-parameter algorithm, where $n,m$ count the vertices and edges of the input graph. These results mirror the findings of Fomin et al. [FOCS 2012], who obtained a similar set of algorithmic results for $\\mathcal{F}$-Minor Deletion, under the assumption that at least one graph from $\\mathcal{F}$ is planar. An important difference is that we are able to obtain a linear kernel for $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion, while the exponent of the kernel of Fomin et al. for $\\mathcal{F}$-Minor Deletion depends heavily on the family $\\mathcal{F}$. In fact, this dependence is unavoidable under plausible complexity assumptions, as proven by Giannopoulou et al. [ICALP 2015]. This reveals that the kernelization complexity of $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion is quite different than that of $\\mathcal{F}$-Minor Deletion.

研究动机与目标

• 为 F-浸入删除问题开发高效的参数化算法，即通过删除边以消除有限族 F 中图的所有浸入模型。
• 在 F 中所有图均为连通图且至少一个为平面图且子立方图的条件下，建立 F-浸入删除问题的线性核。
• 镜像并超越 Fomin 等人 [FOCS 2012] 在 F-子式删除问题中的算法成果，特别是实现线性核，而基于子式的核具有依赖于 F 的超线性指数。
• 研究浸入闭合图类与子式闭合图类在核化复杂性方面的结构性差异。
• 将树切宽度和突起分解技术的适用范围扩展至浸入设置下的边删除问题。

提出的方法

• 利用树切宽度作为结构参数，以限制 F-浸入自由图的复杂度，从而实现核化。
• 将源自子式问题的突起替换与突起分解技术，适配应用于浸入设置。
• 使用图子式定理在浸入闭合类中的构造性版本，以界定最小障碍集的大小。
• 通过树切宽度分解实现常数因子近似：在多项式时间内找到一组边，使其移除后图的树切宽度有界。
• 在树切宽度有界的图中应用 Courcelle 定理的优化变体，以寻找最小边删除集合。
• 结合近似与核化技术，实现线性核，其大小为 O(k)，其中常数因子依赖于 F。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使基于子式的对应问题需要超线性核大小，是否仍可为浸入闭合图类的边删除问题实现线性核？
• RQ2 F-浸入删除问题的核化复杂性与 F-子式删除问题相比如何，特别是在对族 F 的依赖性方面？
• RQ3 树切宽度与基于突起的技术在多大程度上可从基于子式的框架适配至基于浸入的问题？
• RQ4 在 F-浸入删除问题中，假设 F 中所有图均为连通图是否为获得线性核所必需？
• RQ5 排除非平面图或非子立方图作为浸入的图具有何种结构性特征？这些特征能否支持通用的算法结果？

主要发现

• F-浸入删除问题具有常数因子近似算法，时间复杂度为 O(m³n³log m)。
• F-浸入删除问题的线性核可在 O(m⁴n³log m) 时间内计算，核大小为 O(k)，其中常数因子依赖于 F。
• F-浸入删除问题的 FPT 算法时间复杂度为 O(2^O(k) + m⁴n³log m)，在核大小复杂度方面优于基于子式的对应算法。
• 核大小在 k 上为线性关系，而基于子式的对应问题中核大小的指数高度依赖于 F，因此浸入情形显著更优。
• 上述结果在 F 中所有图均为连通图且至少一个为平面图且子立方图的条件下成立，这是关键的结构性约束。
• 本工作证实树切宽度是浸入相关问题的合适参数，其作用类似于在子式相关问题中树宽的作用。