[论文解读] Linear Mappings of Free Algebra

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，用于在具有加法的普遍代数中通过映射矩阵求解加法方程组，将域上的线性代数推广至非结合与非交换设置。它证明了在交换环上，线性映射可通过张量积 $A \otimes A$ 表示，并将其应用于求解涉及共轭的复杂线性系统，推导出使用12×12方程组的四元数共轭的闭式表达式，关键结果为：$\overline{z} = -\frac{1}{6}(z + (iz)i + (jz)j + (kz)k + ((il)z)(il) + ((jl)z)(jl) + ((kl)z)(kl))$。该方法可扩展至八元数和除法代数，为非结合代数中的线性变换提供统一的方法。

ABSTRACT

For arbitrary F-algebra, in which the operation of addition is defined, I explore biring of matrices of mappings. The sum of matrices is determined by the sum in F-algebra, and the product of matrices is determined by the product of mappings. The system of equations, whose matrix is a matrix of mappings, is called a system of additive equations. I considered the methods of solving system of additive equations. As an example, I consider the solution of a system of linear equations over the complex field provided that the equations contain unknown quantities and their conjugates. Linear mappings of algebra over a commutative ring preserve the operation of addition in algebra and the product of elements of the algebra by elements of the ring. The representation of tensor product A\otimes A in algebra A generates the set of linear transformations of algebra A. The results of this research will be useful for mathematicians and physicists who deal with different algebras.

研究动机与目标

• 通过在具有加法的普遍代数中引入映射的矩阵形式，将线性代数推广至非结合代数之外。
• 在复数域上，利用一类新的加法方程，结构化地求解同时包含变量及其共轭的方程组。
• 建立在交换环上，通过张量积 $A \otimes A$ 表示线性映射，适用于结合与非结合代数。
• 利用 $\mathbb{C}$ 和 $\mathbb{H}$ 上的线性系统，推导出四元数和八元数共轭的显式公式。
• 通过基于双线性映射和准行列式的代数框架，统一处理除法代数中的线性变换。

提出的方法

• 定义映射矩阵的双环，其中矩阵加法遵循代数的加法，矩阵乘法遵循映射的复合。
• 引入加法方程的概念，其中未知数是具有加法的普遍代数的元素，而系数是映射而非标量。
• 将代数 $A$ 上交换环上的线性映射表示为张量积 $A \otimes A$ 的元素，其作用定义为 $(a \otimes b) \circ x = axb$。
• 使用准行列式分析加法方程组，特别是在非交换设置中。
• 从共轭映射在基上的作用出发，构建八元数中共轭的12×12线性方程组。
• 通过假设映射系数的特定值，并推导归一化因子 $-1/6$，将共轭表示为扭曲乘法的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在结构化的代数框架中求解同时包含变量及其共轭的方程组？
• RQ2 张量积 $A \otimes A$ 在表示交换环上代数 $A$ 的线性映射中起什么作用？
• RQ3 四元数和八元数上的共轭映射能否通过映射矩阵形式表示为扭曲乘法的线性组合？
• RQ4 加法方程理论如何从结合代数扩展到非结合除法代数（如八元数）？
• RQ5 线性映射模 $\mathcal{L}(A;A)$ 的精确代数结构是什么？它如何依赖于 $A$ 的非交换性？

主要发现

• 八元数上的共轭映射表示为8项扭曲乘法的线性组合，其系数通过求解12×12方程组得出。
• 共轭公式的归一化因子为 $-1/6$，由方程组 $12f^{\boldsymbol{00}} = -f_7^0 + f_6^1 - f_5^2 - f_4^3 - 5f_3^4 + f_2^5 - f_1^6 - f_0^7$ 及其类似方程的解推导得出。
• 共轭方程组的解满足 $f^{\boldsymbol{00}} = f^{\boldsymbol{11}} = \cdots = f^{\boldsymbol{77}} = -1/6$，确认了解的对称性。
• 公式 $\overline{z} = -\frac{1}{6}(z + (iz)i + (jz)j + (kz)k + ((il)z)(il) + ((jl)z)(jl) + ((kl)z)(kl))$ 作为八元数共轭的闭式表达式被推导出。
• 该框架通过用映射复合替代标量乘法，成功将线性代数推广至非结合代数，使复数、四元数和八元数环境中的加法方程得以求解。
• 准行列式理论与映射矩阵形式框架为分析非交换和非结合环境中的线性变换提供了统一的工具。