[论文解读] Linear Matrix Inequality Representation of Sets

J. William Helton, Victor Vinnikov|ArXiv.org|Jun 11, 2003

Matrix Theory and Algorithms被引用 10

一句话总结

本文证明了在 ℝ² 中，一个闭凸集可由线性矩阵不等式（LMI）表示，当且仅当其边界具有实零多项式结构，即满足刚性凸性条件。作者证明了在二维情况下，刚性凸性是 LMI 表示性的必要且充分条件，解决了 Parrilo 和 Sturmfels 提出的形式化问题，并为控制理论与优化中的半定规划应用提供了基础性表征。

ABSTRACT

This article concerns the question: which subsets of ${\mathbb R}^m$ can be represented with Linear Matrix Inequalities, LMIs? This gives some perspective on the scope and limitations of one of the most powerful techniques commonly used in control theory. Also before having much hope of representing engineering problems as LMIs by automatic methods one needs a good idea of which problems can and cannot be represented by LMIs. Little is currently known about such problems. In this article we give a necessary condition, we call "rigid convexity", which must hold for a set ${\cC} \in {\mathbb R}^m$ in order for ${\cC}$ to have an LMI representation. Rigid convexity is proved to be necessary and sufficient when $m=2$. This settles a question formally stated by Pablo Parrilo and Berndt Sturmfels in [PSprep].

研究动机与目标

• 确定 ℝᵐ 中哪些闭凸集可由线性矩阵不等式（LMI）表示，这是控制理论与优化中的关键工具。
• 解决目前缺乏系统性准则以识别哪些几何约束可转化为 LMI 的问题。
• 对二维情况下 LMI 可表示集提供完整表征。
• 引入并严格定义“刚性凸性”这一概念，作为 ℝ² 中 LMI 表示性的必要且充分条件。
• 将多项式等高集的代数、几何与拓扑性质与其 LMI 可表示性相联系。

提出的方法

• 将实零（RZ）多项式定义为：若 p(μx) = 0，则对所有 x ∈ ℝᵐ，μ 必为实数，该定义与矩阵束的谱性质相关联。
• 使用线性矩阵束 L₀ + L₁x₁ + ⋯ + Lₘxₘ 的行列式作为 RZ 多项式的典型来源。
• 证明：ℝ² 中的集合 ℂ 是 LMI 可表示的，当且仅当它是某个实零多项式定义的超曲面内部的连通分支的闭包。
• 应用射影几何与拓扑工具，包括 Nuij 的连通性结果，分析实代数超曲面的结构。
• 表征 ℙᵐ(ℝ) 中 RZ 多项式零集的拓扑结构为嵌套卵形体的不相交并集，可能还包含一个伪双曲面，具体取决于次数。
• 证明：此类超曲面内部与 ℝᵐ 的交集是凸的，或在与无穷远超平面相交时分解为两个凸分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℝ² 的哪些子集可表示为线性矩阵不等式的解集？
• RQ2 凸集需满足何种代数或几何条件，才能实现 LMI 可表示性？
• RQ3 是否存在二维情况下 LMI 可表示集的完整表征？
• RQ4 边界多项式的拓扑与代数性质如何影响 LMI 可表示性？
• RQ5 刚性凸性概念能否用于确定基于 LMI 的优化在控制系统中的局限性？

主要发现

• ℝ² 中的闭凸集 ℂ 是 LMI 可表示的，当且仅当其为刚性凸集，即其边界由实零（RZ）多项式定义。
• 在二维情况下，刚性凸性是 LMI 表示性的必要且充分条件，完全解决了 Parrilo 和 Sturmfels 针对 m = 2 提出的问题。
• ℝ² 中实零多项式零集的内部与 ℝ² 相交时，若与无穷远超平面相交，则为凸集，或分解为两个凸分量。
• 具有正定常数项的线性矩阵束的行列式始终是实零多项式，从而提供了一类此类集合的典型构造。
• 实零多项式类在乘积与因式分解下封闭，其零集在射影空间中具有清晰可理解的拓扑结构。
• 该结果对 1958 年 Lax 关于双曲多项式的猜想具有影响，因其被用于 Lewis、Parrilo 和 Ramana 对该猜想的正向解答。