[论文解读] Linear multi-step schemes for BSDEs

Jean-François Chassagneux|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文通过利用稳定性特性与截断误差分析，提出了一类用于求解倒向随机微分方程（BSDEs）的线性多步格式，实现了任意阶收敛率。该方法将常微分方程（ODEs）中的高阶方法（如Adams、Nystrom和Milne）推广至具有广义扩散系数和Z依赖性驱动项的BSDEs框架，通过时间离散化中的矩匹配，证明了最高可达m阶的收敛速率。

ABSTRACT

We study the convergence rate of a class of linear multi-step methods for BSDEs. We show that, under a sufficient condition on the coefficients, the schemes enjoy a fundamental stability property. Coupling this result to an analysis of the truncation error allows us to design approximation with arbitrary order of convergence. Contrary to the analysis performed in \cite{zhazha10}, we consider general diffusion model and BSDEs with driver depending on $z$. The class of methods we consider contains well known methods from the ODE framework as Nystrom, Milne or Adams methods. We also study a class of Predictor-Correctot methods based on Adams methods. Finally, we provide a numerical illustration of the convergence of some methods.

研究动机与目标

• 开发超越欧拉型方法的高阶BSDE数值格式，解决收敛速度受限的问题。
• 将常微分方程中的经典线性多步方法（如Adams、Milne、Nystrom）推广至具有广义扩散和Z依赖性驱动项的BSDEs随机设置中。
• 通过分析稳定性与截断误差，为收敛性建立理论基础。
• 基于Adams格式设计预测-校正方法，以提升BSDE近似中的精度与稳定性。
• 在光滑性与Lipschitz假设下提供严格的收敛性分析，给出依赖于时间步长与矩匹配阶数的显式误差界。

提出的方法

• 通过r步初始化的向后递推，定义一类用于BSDEs的线性多步格式，其系数$ a_j, b_{i,j}, \alpha_j, \beta_{i,j} $满足预一致性与有界性条件。
• 引入适应于滤子$ \mathcal{F}_{t_{i+j}} $的随机权重$ H^{Y}_{i,j}, H^{f}_{i,j} $，确保条件期望为零且二阶矩有界。
• 在时间网格$ \pi $上构造一个离散马尔可夫过程$ \widehat{W}^{x,0}_{t} $，以逼近前向过程$ X_t $，使其在矩匹配阶数$ K $内保持一致。
• 通过条件数学期望定义格式的预测与校正步骤：$ Y_i = \mathbb{E}_{t_i}[\sum a_j Y_{i+j} + h \sum b_{i,j} f(Y_{i+j}, Z_{i+j})] $，类似地定义$ Z_i $。
• 采用摄动分析比较精确解$ (Y_t, Z_t) $与离散格式$ (\widehat{Y}_i, \widehat{Z}_i) $，将误差分解为时间离散化与空间离散化两部分。
• 通过Wiener增量$ W^{0,t_i}_{t_{i+j}} $与其离散形式$ \widehat{W}^{0,t_i}_{t_{i+j}} $之间的矩匹配，控制空间离散化误差至阶数$ K $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将常微分方程中的线性多步方法适配至具有广义扩散与Z依赖性驱动项的BSDEs中，同时保持高阶收敛性？
• RQ2 在Lipschitz假设下，何种稳定性条件可确保线性多步格式在BSDEs中的收敛性？
• RQ3 时间离散化中矩匹配的阶数如何影响格式的全局收敛速率？
• RQ4 在所提格式中，时间离散化误差与空间离散化误差之间存在何种相互作用？
• RQ5 基于Adams方法的预测-校正变体能否在BSDE近似中实现更高的精度与稳定性？

主要发现

• 所提出的线性多步格式在矩匹配阶数$ K $满足$ K = 2m + 1 $时，可实现任意阶收敛率$ m $。
• 在系数满足充分条件时，格式展现出基本稳定性性质，为收敛性分析提供了基础。
• 时间离散化误差为$ m $阶，空间离散化误差有界于$ C|\pi|^{(K-1)/2} $，从而得到全局误差界$ |\widetilde{Y}_0 - \widehat{Y}_0| \leq C|\pi|^m + C|\pi|^{(K-1)/2} $。
• 当$ K = 2m + 1 $时，全局误差以$ m $阶收敛，证实该格式可实现任意期望的收敛阶数。
• 该方法包含Adams、Nystrom与Milne等经典ODE格式作为特例，将其适用范围扩展至BSDEs。
• 数值实验验证了理论收敛速率，证实了所提格式的高阶性能。