[论文解读] Linear Network Code for Erasure Broadcast Channel with Feedback: Complexity and Algorithms

Chi Wan Sung, Linyu Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 35被引用 4

一句话总结

该论文针对带反馈的擦除广播信道提出稀疏线性网络编码，以最小化完成时间和解码延迟。证明了创新编码向量在完成时间上是最优的，当域大小小于用户数时，存在性问题为NP完全问题，并提出一种近似算法用于生成稀疏码，从而在保持低完成时间的同时降低解码复杂度，相较于随机线性网络编码（RLNC），在有反馈时解码速度更快，但编码时间更长。

ABSTRACT

This paper investigates the construction of linear network codes for broadcasting a set of data packets to a number of users. The links from the source to the users are modeled as independent erasure channels. Users are allowed to inform the source node whether a packet is received correctly via feedback channels. In order to minimize the number of packet transmissions until all users have received all packets successfully, it is necessary that a data packet, if successfully received by a user, can increase the dimension of the vector space spanned by the encoding vectors he or she has received by one. Such an encoding vector is called innovative. We prove that innovative linear network code is uniformly optimal in minimizing user download delay. When the finite field size is strictly smaller than the number of users, the problem of determining the existence of innovative vectors is proven to be NP-complete. When the field size is larger than or equal to the number of users, innovative vectors always exist and random linear network code (RLNC) is able to find an innovative vector with high probability. While RLNC is optimal in terms of completion time, it has high decoding complexity due to the need of solving a system of linear equations. To reduce decoding time, we propose the use of sparse linear network code, since the sparsity property of encoding vectors can be exploited when solving systems of linear equations. Generating a sparsest encoding vector with large finite field size, however, is shown to be NP-hard. An approximation algorithm that guarantee the Hamming weight of a generated encoding vector to be smaller than a certain factor of the optimal value is constructed. Our simulation results show that our proposed methods have excellent performance in completion time and outperforms RLNC in terms of decoding time.

研究动机与目标

• 通过确保每次传输的分组均为创新分组，最小化反馈机制下擦除信道中广播系统的用户下载延迟。
• 分析确定创新编码向量存在的计算复杂度，证明当有限域大小小于用户数时，该问题为NP完全问题。
• 通过提出稀疏编码向量，利用高斯消去过程中的稀疏性，降低线性网络编码的解码复杂度。
• 设计一种近似算法，保证在大有限域下生成的编码向量的汉明权重在最优值的有界倍数之内。
• 将所提方案与RLNC及其他广播编码方案进行比较，展示在完成时间、编码时间和解码时间之间的权衡。

提出的方法

• 使用创新编码向量——即不在先前接收向量张成空间中的向量——以最小化完成时间，确保每次传输使用户接收维度增加1。
• 证明当有限域大小 q ≥ K（用户数）时，创新向量始终存在，且RLNC以高概率可找到它们。
• 提出一种基于Sherman-Morrison公式的增量零空间基计算方法，以高效验证创新性并更新用户状态矩阵。
• 提出一种近似算法，用于在大有限域下生成尽可能稀疏的编码向量，其性能相对于最优解有界。
• 针对二元域，设计一种启发式算法，以高效生成稀疏编码向量。
• 利用反馈使源节点能够自适应选择对最多用户具有创新性的编码向量，从而减少冗余传输。

实验结果

研究问题

• RQ1 在擦除广播信道的线性网络编码中，创新编码向量在何种条件下存在？
• RQ2 当有限域大小小于用户数时，确定创新编码向量存在的计算复杂度是多少？
• RQ3 与RLNC相比，稀疏线性网络编码是否能在不显著增加完成时间的前提下降低解码复杂度？
• RQ4 如何设计一种近似算法，以保证生成的编码向量的汉明权重相对于最优解有界？
• RQ5 在使用反馈和稀疏编码方案时，完成时间、编码时间和解码时间之间存在何种权衡？

主要发现

• 当有限域大小严格小于用户数时，创新编码向量的存在性问题为NP完全问题；但当 q ≥ K 时，创新向量始终存在。
• 随机线性网络编码（RLNC）可实现最优完成时间，但因需求解稠密线性系统而导致高解码复杂度。
• 通过在高斯消去过程中利用稀疏性，稀疏线性网络编码显著降低了解码时间，解码速度优于RLNC。
• 所提近似算法保证生成编码向量的汉明权重在最优值的有界倍数之内，确保实际效率。
• 在二元域下，启发式算法可高效生成性能良好的稀疏编码向量，在不增加完成时间的前提下降低了解码时间。
• 仿真结果表明，所提方案在保持竞争性完成时间的同时，解码时间低于RLNC，但代价是更高的编码时间和反馈需求。