[论文解读] Linear Network Coding, Linear Index Coding and Representable Discrete Polymatroids

Vijayvaradharaj T. Muralidharan, B. Sundar Rajan|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Jun 5, 2013

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文通過證明在有限域 𝔽_q 上存在線性分數網絡編碼解當且僅當其對應的網絡關於 𝔽_q 上的可表示離散擬序集是離散擬序集化時，建立了一個統一框架，將線性網絡編碼、線性索引編碼與可表示離散擬序集聯繫起來。此外，本文進一步推廣了 El Rouayheb 等人的結果，表明尋找離散擬序集表示的問題可歸約為求解由其導出的完美線性索引編碼問題。

ABSTRACT

Discrete polymatroids are the multi-set analogue of matroids. In this paper, we explore the connections among linear network coding, linear index coding and representable discrete polymatroids. We consider vector linear solutions of networks over a field $\mathbb{F}_q,$ with possibly different message and edge vector dimensions, which are referred to as linear fractional solutions. We define a extit{discrete polymatroidal} network and show that a linear fractional solution over a field $\mathbb{F}_q,$ exists for a network if and only if the network is discrete polymatroidal with respect to a discrete polymatroid representable over $\mathbb{F}_q.$ An algorithm to construct networks starting from certain class of discrete polymatroids is provided. Every representation over $\mathbb{F}_q$ for the discrete polymatroid, results in a linear fractional solution over $\mathbb{F}_q$ for the constructed network. Next, we consider the index coding problem and show that a linear solution to an index coding problem exists if and only if there exists a representable discrete polymatroid satisfying certain conditions which are determined by the index coding problem considered. El Rouayheb et. al. showed that the problem of finding a multi-linear representation for a matroid can be reduced to finding a extit{perfect linear index coding solution} for an index coding problem obtained from that matroid. We generalize the result of El Rouayheb et. al. by showing that the problem of finding a representation for a discrete polymatroid can be reduced to finding a perfect linear index coding solution for an index coding problem obtained from that discrete polymatroid.

研究动机与目标

• 建立線性分數網絡編碼解與有限域上可表示離散擬序集之間的正式聯繫。
• 通過將其推廣至離散擬序集框架，擴展現有關於擬序集表示與索引編碼的結果。
• 提供一種構造性方法，從可表示離散擬序集生成可實現線性分數解的網絡。
• 證明索引編碼問題存在線性解，當且僅當存在滿足特定秩函數條件的可表示離散擬序集。
• 通過共同的代數與組合結構，統一網絡編碼、索引編碼與離散擬序集可表示性的理論基礎。

提出的方法

• 定義離散擬序集化網絡為其路由與編碼約束對應於 𝔽_q 上可表示離散擬序集的秩函數的網絡。
• 提出一種構造程序，從給定的可表示離散擬序集生成網絡，使得該擬序集在 𝔽_q 上的每種表示均對應於所構造網絡的一個線性分數解。
• 將索引編碼問題形式化為離散擬序集表示問題，其中完美線性索引碼存在當且僅當某特定離散擬序集在 𝔽_q 上可表示。
• 利用離散擬序集的秩函數公理（R1–R3）推導線性分數解存在的必要與充分條件。
• 通過一系列結構與代數變換，證明線性分數解的存在性與相關離散擬序集可表示性之間的等價性。
• 通過將已知的從擬序集多線性表示到索引編碼的歸約推廣至離散擬序集，從而擴展了 El Rouayheb 等人原始結果的適用範圍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域 𝔽_q 上，線性分數網絡編碼解存在的條件是什麼？
• RQ2 如何利用離散擬序集來表征消息與鏈路向量維度不相等的網絡編碼問題的可解性？
• RQ3 完美線性索引碼的存在性與離散擬序集可表示性之間的精確關係為何？
• RQ4 能否系統性地形式化從離散擬序集構造網絡的方法，以確保其具有線性分數可解性？
• RQ5 離散擬序集框架在多大程度上推廣了先前已知的擬序集、網絡編碼與索引編碼之間的聯繫？

主要发现

• 當且僅當網絡關於 𝔽_q 上可表示的離散擬序集是離散擬序集化時，其在 𝔽_q 上存在線性分數解。
• 本文提供了一種算法，可從可表示離散擬序集構造網絡，使得該擬序集在 𝔽_q 上的每種表示均對應於所構造網絡的一個線性分數解。
• 索引編碼問題存在線性解，當且僅當存在滿足由接收方的側信息與需求所導出的秩函數條件的可表示離散擬序集。
• 尋找離散擬序集表示的問題可歸約為尋找由該擬序集導出的索引編碼問題的完美線性索引編碼解。
• 通過秩函數運算與離散擬序集的結構分解，正式證明了定理 1 與定理 7 之間、定理 3 與定理 8 之間的等價性。
• 本文將 El Rouayheb 等人從擬序集多線性表示到索引編碼的結果推廣至離散擬序集表示，從而擴展了索引編碼與可表示性之間聯繫的適用範圍。