[论文解读] Linear ODEs, Wronskians and Schubert Calculus

Letterio Gatto, Inna Scherbak|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为具有不确定系数的线性常微分方程构造了一个显式的通用基本解系，表明这些解的广义Wronskian通过作用于标准Wronskian与Schur函数相对应。关键结果是：由这些广义Wronskian生成的自由模与无限Grassmann流形的奇异上同调环之间存在自然同构，从而通过对称函数将线性常微分方程、Wronskian与Schubert演算联系起来。

ABSTRACT

For a linear ODE with indeterminate coefficients, we explicitly exhibit a fundamental system of solutions, in terms of the coefficients. We show that the generalized Wronskians of the fundamental system are given by an action of the Schur functions on the usual Wronskian, and thence enjoy Pieri's and Giambelli's formulae. As an outcome, we obtain a natural isomorphism between the free module generated by the generalized Wronskians and the singular homology module of the Grassmannian.

研究动机与目标

• 为具有不确定系数的线性常微分方程构造一个显式的通用基本解系。
• 用Schur函数表达该解系的广义Wronskian。
• 建立广义Wronskian自由模与Grassmannian $G(r, \mathbb{P}^\infty)$ 的奇异上同调模之间的自然同构。
• 证明广义Wronskian的乘积结构遵循与Schur函数乘法及Schubert单元交集相同的规则。

提出的方法

• 定义具有不确定系数 $e_1, \dots, e_{r+1}$ 的通用线性常微分方程 $u^{(r+1)} - e_1 u^{(r)} + \cdots + (-1)^{r+1} e_{r+1} u = 0$。
• 通过特征多项式生成函数的逆，引入幂和 $h_j$ 的生成函数。
• 构造通用基本解系 $u_j(t) = \sum_{n \geq j} h_{n-j} \frac{t^n}{n!}$，其中 $0 \leq j \leq r$，且 $u_0$ 由生成函数定义。
• 证明以分拆为指标的广义Wronskian是通过Schur函数作用于标准Wronskian得到的。
• 证明广义Wronskian的乘积结构与Schur函数的乘法规则一致，从而表明其与 $H^*(G(r, \mathbb{P}^\infty))$ 同构。
• 利用通用性质，通过 $\mathbb{Q}$-代数同态 $\psi: E_r \to A$，将解从任意单次多项式 $P(D)v = 0$ 在 $\mathbb{Q}$-代数 $A$ 上提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有不确定系数的线性常微分方程显式构造一个基本解系？
• RQ2 由此类解系构成的广义Wronskian的代数结构是什么？
• RQ3 广义Wronskian如何与Schur函数及对称函数理论相关联？
• RQ4 广义Wronskian的乘积结构能否通过Schur函数乘法来描述？
• RQ5 广义Wronskian生成的模与Grassmannian的奇异上同调之间是否存在自然同构？

主要发现

• 通用基本解系显式给出为 $u_j(t) = \sum_{n \geq j} h_{n-j} \frac{t^n}{n!}$，其中 $0 \leq j \leq r$，且 $h_j$ 为生成函数 $1 / (1 - e_1 t + e_2 t^2 - \cdots + (-1)^{r+1} e_{r+1} t^{r+1})$ 的系数。
• 以分拆 $\lambda$ 为指标的广义Wronskian等于在系数 $e_1, \dots, e_{r+1}$ 处取值的Schur函数 $s_\lambda$，作用于标准Wronskian。
• 广义Wronskian的乘积遵循与Schur函数乘法相同的规则，因此对应于Grassmannian上同调中的交积。
• 存在一个自然同构，将由广义Wronskian生成的自由 $\mathbb{Z}[e_1, \dots, e_{r+1}]$-模与奇异上同调模 $H^*(G(r, \mathbb{P}^\infty))$ 联系起来。
• 该解系满足通用性质：对任意次数为 $r+1$ 的单次多项式 $P(T) \in A[T]$，存在唯一的 $\mathbb{Q}$-代数同态 $\psi: E_r \to A$，将通用解映射为 $A[[t]]$ 中 $P(D)v = 0$ 的解。
• 广义Wronskian满足Pieri公式与Giambelli公式，这些性质继承自Schur函数结构。