[论文解读] Linear orderings of combinatorial cubes

Boris Bukh, Anish Sevekari|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了，任何 $[2]^n$ 上的线性序都包含一个较大的子立方体，使得该序在该子立方体上为字典序，且更一般地，任何 $[k]^n$ 上的线性序都包含一个较大的子立方体，使得该序与大约 $\frac{(k-1)!}{2(\ln 2)^k}$ 种标准序之一一致。关键贡献在于，对组合立方体提出了类似 Hales–Jewett 的 Ramsey 型结果，表明长序列中包含在仿射立方体上支持的单调子序列。

ABSTRACT

We show that, for every linear ordering of $[2]^n$, there is a large subcube on which the ordering is lexicographic. We use this to deduce that every long sequence contains a long monotone subsequence supported on an affine cube. More generally, we prove an analogous result for linear orderings of $[k]^n$. We show that, for every such ordering, there is a large subcube on which the ordering agrees with one of approximately $\frac{(k-1)!}{2(\ln 2)^k}$ orderings.

研究动机与目标

• 通过要求单调子序列的支撑集为仿射立方体而非仅索引集，将 Erdős–Szekeres 定理进行推广。
• 为 $[2]^n$ 上的线性序建立类似 Hales–Jewett 的 Ramsey 型结果，证明任何此类序都包含一个字典序排列的子立方体。
• 将该结果推广至任意 $k \geq 2$ 的 $[k]^n$，识别出在任意线性序中必然出现的有界数量的标准序。
• 将这些结果应用于推导出任意实数序列中存在长单调子序列，其索引集构成仿射立方体。
• 探讨子立方体大小与维数之间的定量依赖关系，特别是关于所需元素数量的双指数增长的猜想。

提出的方法

• 使用标准参数词定义 $[k]^n$ 的 $d$-子立方体，通过双射与 $[k]^d$ 一致对应。
• 将 $[k]^n$ 上线性序限制到子立方体，定义为通过标准双射诱导的 $[k]^d$ 上的线性序。
• 应用 Graham–Rothschild 定理，基于 $[m]$ 上的着色（其中 $m = 3^n$）对 $[2]^n$ 中的词对进行着色，以寻找单色配置。
• 引入不可比词的概念（包含同时具有 $0,1$ 和 $1,0$ 对的词），以识别其在投影下形成仿射立方体的集合。
• 使用归纳法和均匀性论证，证明若两个词以某种方式排序，则其扩展仍遵循相同规则。
• 利用 $d$-子立方体和标准词的结构，将问题约化为高维立方体上的已知 Ramsey 理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个长序列是否都包含一个单调子序列，其索引集为真仿射 $d$-立方体？
• RQ2 每个 $[2]^n$ 上的线性序是否都包含一个大的子立方体，使得该序在该子立方体上为字典序？
• RQ3 对于 $[k]^n$，是否存在有界数量的标准序，使得每个线性序都包含一个与其中之一一致的大子立方体？
• RQ4 Erdős–Szekeres 定理能否被强化，要求单调子序列的支撑集为组合立方体？
• RQ5 在仿射立方体设定下，所需序列长度对 $d$ 的最优定量依赖关系是什么？

主要发现

• 对每个 $d$，存在 $m$，使得每个长度为 $m$ 的互异实数序列都包含一个索引集为真仿射 $d$-立方体的单调子序列。
• 每个 $[2]^n$ 上的线性序都包含一个 $d$-子立方体，使得该序在该子立方体上为字典序，且对应于 $[2]$ 的两种线性序之一。
• 对于 $[k]^n$，每个线性序都包含一个大的子立方体，使得其限制与大约 $\frac{(k-1)!}{2(\ln 2)^k}$ 种标准序之一一致。
• 此类子立方体的存在性意味着每个长序列都包含一个在仿射立方体上支持的单调子序列。
• 定理 1 中 $m$ 对 $d$ 的依赖关系可能为双指数增长，尽管本文未对此界进行优化。
• 证明使用 Graham–Rothschild 定理寻找单色 $2d$-子立方体，然后从中提取出索引集中单色的仿射立方体。