[论文解读] Linear perturbations of quaternionic metrics. II. The quaternionic-Kahler case

Sergey Alexandrov, Boris Pioline+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2008

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

该论文通过将流形 M 的形变与它的超凯勒锥 S 的形变通过 Z_S 上的复辛同胚或等价地通过 Z_M 上的复接触变换相关联，将扭量方法推广至四元数凯勒流形的线性形变。该方法绕过了斯万 bundle。关键成果是利用扭量空间上的全纯数据系统地编码线性形变，该方法在弦紧化中的超多重态模空间中得到说明。

ABSTRACT

We extend the twistor methods developed in our earlier work on linear deformations of hyperkahler manifolds [arXiv:0806.4620] to the case of quaternionic-Kahler manifolds. Via Swann's construction, deformations of a 4d-dimensional quaternionic-Kahler manifold $M$ are in one-to-one correspondence with deformations of its $4d+4$-dimensional hyperkahler cone $S$. The latter can be encoded in variations of the complex symplectomorphisms which relate different locally flat patches of the twistor space $Z_S$, with a suitable homogeneity condition that ensures that the hyperkahler cone property is preserved. Equivalently, we show that the deformations of $M$ can be encoded in variations of the complex contact transformations which relate different locally flat patches of the twistor space $Z_M$ of $M$, by-passing the Swann bundle and its twistor space. We specialize these general results to the case of quaternionic-Kahler metrics with $d+1$ commuting isometries, obtainable by the Legendre transform method, and linear deformations thereof. We illustrate our methods for the hypermultiplet moduli space in string theory compactifications at tree- and one-loop level.

研究动机与目标

• 将基于扭量的形变理论从超凯勒流形推广至四元数凯勒流形。
• 通过斯万构造，建立四元数凯勒流形 M 与其超凯勒锥 S 之间形变的对应关系。
• 直接在原始流形 M 的扭量空间 Z_M 上，通过复接触变换编码 M 的形变，避免依赖斯万 bundle。
• 将该形式化方法应用于通过勒让德变换方法构造的具有 d+1 个对易等距的四元数凯勒度量。
• 在树图和一环图层次上，说明该框架对弦紧化中超多重态模空间的线性形变的应用。

提出的方法

• 利用斯万构造，将 4d 维的四元数凯勒流形 M 与 4d+4 维的超凯勒锥 S 相关联。
• 通过扭量空间 Z_S 上局部平坦区域之间的复辛同胚变化，编码 S 的形变，同时保持超凯勒锥结构。
• 对这些辛同胚施加齐次性条件，以确保在形变下超凯勒锥性质得以保持。
• 等价地，将形变数据重新表述为在原始流形 M 的扭量空间 Z_M 上的复接触变换，从而绕过斯万 bundle。
• 将该形式化方法应用于通过勒让德变换方法获得的具有 d+1 个对易等距的度量。
• 利用所得框架，分析弦紧化中在树图和一环图层次上超多重态模空间的线性形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将适用于超凯勒流形的扭量方法推广至四元数凯勒情形？
• RQ2 四元数凯勒流形与其超凯勒锥之间的形变之间存在何种精确对应关系？
• RQ3 是否可以不依赖斯万 bundle，直接在流形自身的扭量空间上编码四元数凯勒流形的形变？
• RQ4 超凯勒锥的扭量空间上的复辛同胚如何与原始四元数凯勒流形的几何相关联？
• RQ5 该形式化方法在弦理论紧化中对超多重态模空间的应用是什么？

主要发现

• 通过斯万构造，四元数凯勒流形 M 的形变与它的超凯勒锥 S 的形变之间存在一一对应关系。
• S 的形变通过扭量空间 Z_S 上局部平坦区域之间复辛同胚的变化来编码，且在齐次性条件下可保证超凯勒锥性质在形变下保持不变。
• 等价地，M 的形变可直接通过 Z_M 上的复接触变换来编码，从而绕过斯万 bundle 及其扭量空间。
• 该形式化方法专门应用于通过勒让德变换方法构造的具有 d+1 个对易等距的四元数凯勒度量。
• 该框架成功描述了弦理论紧化中在树图和一环图层次上超多重态模空间的线性形变。
• 结果提供了一种基于全纯数据的、扭量化的线性形变描述，使得几何与物理模的系统分析成为可能。