[论文解读] Linear--Quadratic control for a class of stochastic Volterra equations: solvability and approximation

Eduardo Abi Jaber, Enzo Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文建立了具有拉普拉斯变换定义核的随机伏尔泰拉方程类的线性二次（LQ）控制问题的可解性与逼近性，其核为带符号矩阵测度的拉普拉斯变换，包括赫斯特指数 $ H \leq 1/2 $ 的分数布朗运动。该文引入了巴拿赫空间中的马尔可夫升维方法，证明了值函数为二次型，最优控制为线性反馈，其由非标准巴拿赫空间里卡蒂方程决定，并展示了对有限维LQ问题的逼近可实现数值计算。

ABSTRACT

We provide an exhaustive treatment of Linear-Quadratic control problems for a class of stochastic Volterra equations of convolution type, whose kernels are Laplace transforms of certain signed matrix measures which are not necessarily finite. These equations are in general neither Markovian nor semimartingales, and include the fractional Brownian motion with Hurst index smaller than $1/2$ as a special case. We establish the correspondence of the initial problem with a possibly infinite dimensional Markovian one in a Banach space, which allows us to identify the Markovian controlled state variables. Using a refined martingale verification argument combined with a squares completion technique, we prove that the value function is of linear quadratic form in these state variables with a linear optimal feedback control, depending on non-standard Banach space valued Riccati equations. Furthermore, we show that the value function of the stochastic Volterra optimization problem can be approximated by that of conventional finite dimensional Markovian Linear--Quadratic problems, which is of crucial importance for numerical implementation.

研究动机与目标

• 解决非马尔可夫性、非半鞅随机伏尔泰拉过程在线性二次控制中缺乏可解性与数值可处理性的问题。
• 将经典LQ控制理论扩展至具有记忆特性的系统，如赫斯特指数 $ H \leq 1/2 $ 的分数布朗运动，这些系统超出了标准伊藤微积分的适用范围。
• 在无穷维巴拿赫空间中构建马尔可夫表示，以支持动态规划与验证技术的应用。
• 证明值函数为二次型，最优控制为升维状态变量的线性反馈，其由一类新型里卡蒂方程控制。
• 建立在核与初始条件逼近下值函数与最优控制的收敛性，从而通过有限维LQ问题实现数值实现。

提出的方法

• 利用核表示为带符号矩阵测度 $ \mu $ 的拉普拉斯变换，将原始的非马尔可夫性、非半鞅随机伏尔泰拉方程升维至巴拿赫空间 $ L^1(\mu) $ 中的马尔可夫控制系统。
• 结合改进的局部鞅验证方法与平方完成技巧，推导最优控制与值函数的结构。
• 将值函数表征为升维状态变量中的二次型，最优控制为线性反馈，其系数由巴拿赫空间中一类积分算子里卡蒂方程系统决定。
• 在适当的可积性与可逆性条件下，证明非标准巴拿赫空间里卡蒂方程解的存在性与唯一性。
• 通过核序列 $ K^n $ 与初始函数 $ g_0^n $ 在 $ L^2(0,T) $ 中收敛，构造原始问题的有限维马尔可夫LQ问题逼近。
• 建立 $ L^2 $-估计与最优控制的统一有界性，证明在逼近下值函数与控制的收敛性，确保数值可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一类核由带符号测度的拉普拉斯变换定义的随机伏尔泰拉方程，当该过程既非马尔可夫性也非半鞅时，其线性二次控制问题能否显式求解？
• RQ2 此类系统的值函数与最优控制结构为何？其能否以类似于经典LQ理论的反馈形式表达？
• RQ3 如何处理状态空间的无穷维性，以支持动态规划与验证技术的应用？
• RQ4 原始随机伏尔泰拉问题的值函数与最优控制能否通过有限维马尔可夫LQ问题的值函数与控制实现逼近，以支持数值计算？
• RQ5 在核与初始条件序列的逼近下，何种条件可确保逼近的稳定性与收敛性？

主要发现

• 随机伏尔泰拉LQ控制问题的值函数在巴拿赫空间 $ L^1(\mu) $ 中的升维马尔可夫状态变量下为二次型，最优控制为这些变量的线性反馈。
• 值函数与控制中二次型与线性型的系数由一类非标准积分算子里卡蒂方程系统决定，其在较弱可积性条件下可解。
• 最优控制为 $ \alpha_t^* = -\Gamma(t) Y_t^* $，其中 $ \Gamma(t) $ 满足涉及核测度 $ \mu $ 的里卡蒂方程，推广了布朗运动情形下的经典 $ \tanh(T-t) $ 解。
• 原始问题的值函数可被有限维马尔可夫LQ问题的值函数任意精确逼近，且成本泛函与最优控制在 $ L^2 $-范数下收敛。
• 在有界性与可逆性假设下，建立了最优控制 $ L^2 $-范数的统一有界性，确保逼近方案的稳定性。
• 逼近值函数的收敛速率由差值的 $ L^2 $-范数 $ \|g_0^n - g_0\|_{L^2(0,T)} $ 与 $ \|K^n - K\|_{L^2(0,T)} $ 控制，通过先验估计导出显式误差界。