[论文解读] Linear-quadratic McKean-Vlasov stochastic control problems with random coefficients on finite and infinite horizon, and applications

Matteo Basei, Huyên Pham|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于局部鞅的新验证方法，用于求解具有随机系数的有限与无限时域线性-二次麦科恩-弗拉索夫随机控制问题。该方法建立了耦合的里卡蒂常微分方程与平均场倒向随机微分方程的解的存在性与唯一性，得到了显式最优控制，并表明当间歇性开采成本增加时，长期资源开采将趋于稳定。

ABSTRACT

We propose a simple and original approach for solving linear-quadratic mean-field stochastic control problems. We study both finite-horizon and infinite-horizon problems, and allow notably some coefficients to be stochastic. Our method is based on a suitable extension of the martingale formulation for verification theorems in control theory. The optimal control involves the solution to a system of Riccati ordinary differential equations and to a linear mean-field backward stochastic differential equation, existence and uniqueness conditions are provided for such a system. Finally, we illustrate our results through two applications with explicit solutions: the first one deals with a portfolio liquidation problem with trade crowding, and the second one considers an economic model of substitutable production goods.

研究动机与目标

• 开发一种求解具有随机系数的线性-二次平均场随机控制问题的新验证方法。
• 将现有结果扩展至无限时域问题，并允许系数为随机而非确定性。
• 建立求解过程中出现的里卡蒂常微分方程与平均场倒向随机微分方程系统解的存在性与唯一性条件。
• 将该框架应用于两个经济问题：存在交易拥挤的组合头寸平仓问题，以及具有替代性的不可再生资源生产问题。
• 分析最优控制的长期行为，特别是在资源枯竭与替代背景下的表现。

提出的方法

• 将弱局部鞅最优性原理推广至具有随机系数的平均场设置。
• 采用一个耦合里卡蒂常微分方程与线性平均场倒向随机微分方程（MFBSDE）的系统。
• 应用局部鞅公式推导最优性的验证定理，将经典方法扩展至麦科恩-弗拉索夫背景。
• 推导出最优控制的显式反馈形式：$\alpha_t^* = K_\eta(X_t^* - \mathbb{E}[X_t^*]) + \Lambda_\varepsilon\mathbb{E}[X_t^*] + \text{涉及 } Y_t \text{ 和 } P_t^0 \text{ 的附加项}$。
• 在适当的可积性与正定性条件下，证明了里卡蒂-MFBSDE系统的解的存在性与唯一性。
• 利用解推导长期均衡行为，包括均值平稳的储备水平与无限时域下平均开采量趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将局部鞅验证原理扩展至求解具有随机系数的线性-二次麦科恩-弗拉索夫控制问题？
• RQ2 在何种条件下可保证耦合里卡蒂-MFBSDE系统解的存在性与唯一性？
• RQ3 在无限时域情况下，最优控制的行为如何，特别是关于长期资源存量与开采速率的表现？
• RQ4 间歇性成本（参数$\eta$）与产品替代性（$\varepsilon$）对长期储备水平有何影响？
• RQ5 能否为实际应用（如存在交易拥挤的组合头寸平仓与不可再生资源开采）推导出显式解？

主要发现

• 最优控制被显式表征为状态及其均值的线性反馈，外加涉及平均场倒向SDE解的项。
• 长期平均储备水平$\bar{x}_\infty$仅依赖于间歇性惩罚$\eta$，而不依赖于替代性参数$\varepsilon$。
• $\bar{x}_\infty$随$\eta$增加而减小，且当$\eta \to \infty$时趋近于$x_0 - \bar{p}/c$，其中$\bar{p}$为替代品价格。
• 当$cx_0 > \bar{p}$时，长期平均储备保持为正，表明由于存在正的霍特林 rent，资源可长期维持可用。
• 平均开采率$\mathbb{E}[\alpha_t^*]$随$t \to \infty$收敛于零，表明长期开采将停止。
• 在所假设的可积性与正定性条件下，里卡蒂常微分方程与MFBSDE系统存在唯一解，确保了控制问题的适定性。