[论文解读] Linear Quadratic Reinforcement Learning: Sublinear Regret in the Episodic Continuous-Time Framework
该论文提出了一种用于周期性设置下线性二次控制的连续时间强化学习算法，通过正则化最小二乘估计实现次线性遗憾。在一般情况下建立了 $\tilde{O}(N^{9/10})$ 的遗憾边界，在一维情况下为 $\tilde{O}(\sqrt{N})$，克服了朴素离散化方法导致的线性遗憾。
This paper studies a continuous-time linear quadratic reinforcement learning problem in an episodic setting. We first show that naive discretization and piecewise approximation with discrete-time RL algorithms yields a linear regret with respect to the number of learning episodes $N$. We then propose an algorithm with continuous-time controls based on a regularized least-squares estimation. We establish a sublinear regret bound in the order of $ ilde O(N^{9/10})$. The analysis consists of two parts: parameter estimation error, which relies on properties of sub-exponential random variables and double stochastic integrals; and perturbation analysis, which establishes the robustness of the associated continuous-time Riccati equation by exploiting its regularity property. The regret bound for the one-dimensional case improves to $ ilde O(\sqrt{N})$.
研究动机与目标
- 为解决朴素离散化在连续时间线性二次强化学习中导致线性遗憾的局限性。
- 开发一种在周期性设置下实现次线性遗憾的连续时间控制算法。
- 通过分析参数估计误差和Riccati方程扰动，建立理论遗憾边界。
- 通过利用连续时间动态和正则化，改进现有离散时间近似方法。
提出的方法
- 该算法采用正则化最小二乘估计在连续时间中学习系统参数，避免离散化误差。
- 使用连续时间控制建模系统动态，并利用亚指数随机变量的性质控制估计误差。
- 使用双重随机积分分析参数学习过程中的估计误差。
- 对连续时间Riccati方程进行扰动分析，以确保控制策略的鲁棒性和稳定性。
- 通过利用Riccati方程的正则性，限制参数估计误差对控制性能的影响。
- 通过结合估计误差分析与Riccati解的鲁棒性分析，推导出理论边界。
实验结果
研究问题
- RQ1连续时间强化学习算法是否能在周期性线性二次控制中实现次线性遗憾？
- RQ2朴素离散化在连续时间LQR中的根本遗憾极限是什么？
- RQ3最小二乘估计中的正则化如何影响连续时间中的参数估计误差？
- RQ4Riccati方程的正则性在多大程度上确保对参数估计误差的鲁棒性？
- RQ5在特殊情况下（如一维情况）是否可以改进遗憾边界？
主要发现
- 所提出的算法在一般多维情况下实现了 $\tilde{O}(N^{9/10})$ 的遗憾边界，该边界在周期数 $N$ 上为次线性。
- 在一维情况下，遗憾边界改善为 $\tilde{O}(\sqrt{N})$，表明在低维设置下性能显著提升。
- 朴素离散化和使用离散时间RL算法的分段近似导致线性遗憾，这是次优的。
- 通过亚指数随机变量的性质和双重随机积分控制参数估计误差。
- 通过其正则性性质，建立了连续时间Riccati方程在扰动下的鲁棒性，从而实现稳定控制策略学习。
- 分析表明，结合正则化的连续时间建模相比离散时间近似能获得更优的遗憾性能。
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