[论文解读] Linear rank-width of distance-hereditary graphs I. A polynomial-time algorithm

Isolde Adler, Mamadou Moustapha Kanté+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用 13

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于计算距离遗传图（rank-width 至多为 1 的图）的线性秩宽，时间复杂度为 O(n² log² n)，该算法基于一种新的基于规范分裂分解的表征方式，并引入了一种类结构概念‘limbs’。关键贡献在于一种构造性算法，可同时输出见证线性布局，该算法可立即应用于计算分支宽至多为 2 的拟阵的路径宽。

ABSTRACT

Linear rank-width is a linearized variation of rank-width, and it is deeply related to matroid path-width. In this paper, we show that the linear rank-width of every $n$-vertex distance-hereditary graph, equivalently a graph of rank-width at most $1$, can be computed in time $\\mathcal{O}(n^2\\cdot \\log_2 n)$, and a linear layout witnessing the linear rank-width can be computed with the same time complexity. As a corollary, we show that the path-width of every $n$-element matroid of branch-width at most $2$ can be computed in time $\\mathcal{O}(n^2\\cdot \\log_2 n)$, provided that the matroid is given by an independent set oracle. To establish this result, we present a characterization of the linear rank-width of distance-hereditary graphs in terms of their canonical split decompositions. This characterization is similar to the known characterization of the path-width of forests given by Ellis, Sudborough, and Turner [The vertex separation and search number of a graph. Inf. Comput., 113(1):50--79, 1994]. However, different from forests, it is non-trivial to relate substructures of the canonical split decomposition of a graph with some substructures of the given graph. We introduce a notion of `limbs' of canonical split decompositions, which correspond to certain vertex-minors of the original graph, for the right characterization.

研究动机与目标

• 开发一种计算距离遗传图（rank-width 至多为 1 的图）线性秩宽的多项式时间算法。
• 基于规范分裂分解，建立线性秩宽的结构表征，克服子结构分解与子图之间关系的挑战。
• 在规范分裂分解中引入 'limbs' 的概念，其对应于原图的顶点最小化子，支持递归表征。
• 将算法结果扩展至拟阵路径宽计算，为分支宽至多为 2 的拟阵提供多项式时间解法。
• 为将该方法推广至 rank-width 超过 1 的有界 rank-width 图类奠定基础。

提出的方法

• 引入并形式化规范分裂分解中 'limbs' 的概念，其为对应于原图特定顶点最小化子的子结构。
• 基于距离遗传图规范分裂分解中 'limbs' 的结构，建立线性秩宽的递归表征。
• 利用基于 'limbs' 的递归表征，设计一种动态规划算法，实现 O(n² log² n) 时间复杂度下的线性秩宽计算。
• 通过按特定顺序遍历规范分裂分解结构（由 'limb' 结构引导），构建见证线性秩宽的线性布局。
• 利用已知的拟阵分支宽与图秩宽（加一）之间的等价性，将拟阵路径宽计算问题归约为基本图的线性秩宽计算。
• 使用独立集预言机构造分支宽 ≤ 2 的二元拟阵的基本图，然后应用主算法计算其线性秩宽。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管该类图的路径宽是 NP-难问题，是否仍可多项式时间计算其线性秩宽？
• RQ2 如何利用距离遗传图的规范分裂分解递归表征其线性秩宽？
• RQ3 在分裂分解中，哪些结构成分能有意义地对应于与线性秩宽相关的子图或子结构？
• RQ4 为距离遗传图设计的算法框架能否扩展至更高 rank-width 的图？
• RQ5 分支宽至多为 2 的拟阵的路径宽计算的计算复杂度是多少？能否归约为线性秩宽计算？

主要发现

• 每个 n 个顶点的距离遗传图的线性秩宽可在 O(n² log² n) 时间内计算。
• 具有相同时间复杂度的线性布局可被计算以见证线性秩宽。
• 在给定独立集预言机的前提下，每个元素数为 n 且分支宽至多为 2 的拟阵的路径宽可在 O(n² log² n) 时间内计算。
• 具有相同时间复杂度的拟阵线性布局可被计算以见证其路径宽。
• 本文引入了规范分裂分解中 'limbs' 的概念，其为子图的顶点最小化子对应物，支持递归表征。
• 通过 'limbs' 表征线性秩宽，提供了一套结构框架，克服了子分解中非顶点相关节点带来的挑战。