[论文解读] Linear Recognition of Almost Interval Graphs

Yixin Cao|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 36被引用 26

一句话总结

本文提出了线性时间算法，用于识别三类几乎区间图——通过添加或删除最多 k 个顶点或边而修改的区间图——并提供了识别见证区间图的算法。其主要贡献在于对参数 k 的依赖关系得到改进，实现了固定参数可满足性，解决了参数复杂性领域中关于 interval+ke 图的长期开放问题。

ABSTRACT

Let $\mbox{interval} + k v$, $\mbox{interval} + k e$, and $\mbox{interval} - k e$ denote the classes of graphs that can be obtained from some interval graph by adding $k$ vertices, adding $k$ edges, and deleting $k$ edges, respectively. When $k$ is small, these graph classes are called almost interval graphs. They are well motivated from computational biology, where the data ought to be represented by an interval graph while we can only expect an almost interval graph for the best. For any fixed $k$, we give linear-time algorithms for recognizing all these classes, and in the case of membership, our algorithms provide also a specific interval graph as evidence. When $k$ is part of the input, these problems are also known as graph modification problems, all NP-complete. Our results imply that they are fixed-parameter tractable parameterized by $k$, thereby resolving the long-standing open problem on the parameterized complexity of recognizing $\mbox{interval}+ k e$, first asked by Bodlaender et al. [Bioinformatics, 11:49--57, 1995]. Moreover, our algorithms for recognizing $\mbox{interval}+ k v$ and $\mbox{interval}- k e$ run in times $O(6^k \cdot (n + m))$ and $O(8^k \cdot (n + m))$, (where $n$ and $m$ stand for the numbers of vertices and edges respectively in the input graph,) significantly improving the $O(k^{2k}\cdot n^3m)$-time algorithm of Heggernes et al. [STOC 2007] and the $O(10^k \cdot n^9)$-time algorithm of Cao and Marx [SODA 2014] respectively.

研究动机与目标

• 解决由于生物数据错误导致图接近区间图所带来的计算挑战。
• 解决 Bodlaender 等人（1995）首次提出的关于 interval+ke 图的固定参数可满足性的长期开放问题。
• 设计针对 interval+kv、interval+ke 和 interval−ke 类别的高效算法，实现对图大小的最优线性依赖。
• 不仅提供识别功能，还在确认成员身份时提供见证区间图的构造。

提出的方法

• 利用 Tucker 矩阵和连续一性质违反情况，提出一种新的禁止子图结构表征方法，用于几乎区间图。
• 应用动态规划和模块分解技术，高效搜索最小修改方案。
• 采用有界搜索树方法，结合区间图性质和禁止子图检测进行剪枝。
• 利用线性时间算法检测最小非区间图子图和 Tucker 子矩阵。
• 集成数据规约规则，保持在各自几乎区间图类别中的成员身份不变。
• 将区间图识别技术扩展至处理顶点和边修改，同时保持线性时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 k，能否以线性时间识别 interval+ke 图，从而解决 Bodlaender 等人（1995）提出的开放问题？
• RQ2 识别几乎区间图时，对参数 k 的最优依赖关系是什么，特别是针对 interval+kv 和 interval−ke 类？
• RQ3 能否设计出高效算法，不仅识别，还能为这些类别中的任意输入构造见证区间图？
• RQ4 几乎区间图的结构特性如何与连续一性质及 Tucker 子矩阵相关联？
• RQ5 这些技术能否推广以处理混合修改（顶点和边的删除/添加）或夹逼问题？

主要发现

• 本文提出了识别 interval+kv、interval+ke 和 interval−ke 图的线性时间算法，时间复杂度分别为 O(6^k·(n+m)) 和 O(8^k·(n+m))，显著优于先前的界。
• 对于 interval+kv，算法时间复杂度为 O(6^k·(n+m))，优于 Heggernes 等人（2007）提出的 O(k^{2k}·n^3·m) 算法。
• 对于 interval−ke，算法时间复杂度为 O(8^k·(n+m))，优于 Cao 和 Marx（2014）提出的 O(10^k·n^9) 算法。
• 这些算法不仅能判断成员身份，还能在相同时间内生成见证区间图，提供构造性证明。
• 结果确立了 interval+ke 的固定参数可满足性，解决了参数复杂性领域中一个25年未解的开放问题。
• 该方法可推广至其他遗传图类，并为未来研究夹逼问题和 C1P 修改问题提供了框架。