[论文解读] Linear Regression with Weak Exogeneity

Anna Mikusheva, Mikkel Sølvsten|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2023

Advanced Statistical Methods and ModelsMathematics被引用 3

一句话总结

本文在弱外生性条件下，针对具有大量回归变量的线性时间序列模型，识别出OLS估计中存在的一阶偏差，该偏差源于结果对后续回归变量的反馈，导致渐近不一致。本文提出一种新颖的偏差校正估计量，通过使用故意内生的工具变量来抵消偏差，实现一致性与渐近正态性，且不损失精度。

ABSTRACT

This paper studies linear time series regressions with many regressors. Weak exogeneity is the most used identifying assumption in time series. Weak exogeneity requires the structural error to have zero conditional expectation given the present and past regressor values, allowing errors to correlate with future regressor realizations. We show that weak exogeneity in time series regressions with many controls may produce substantial biases and even render the least squares (OLS) estimator inconsistent. The bias arises in settings with many regressors because the normalized OLS design matrix remains asymptotically random and correlates with the regression error when only weak (but not strict) exogeneity holds. This bias's magnitude increases with the number of regressors and their average autocorrelation. To address this issue, we propose an innovative approach to bias correction that yields a new estimator with improved properties relative to OLS. We establish consistency and conditional asymptotic Gaussianity of this new estimator and provide a method for inference.

研究动机与目标

• 研究在弱外生性条件下，具有大量回归变量的线性时间序列模型中OLS的渐近行为。
• 识别由于结果对后续回归变量的反馈，导致OLS不一致的条件。
• 开发一种偏差校正估计量，以在OLS失效的设定下恢复一致性并实现有效推断。
• 评估在具有大量自相关控制变量的真实宏观经济学应用中，OLS偏差的大小与方向。
• 在有限样本下，比较OLS与新估计量在偏差、方差和置信集覆盖方面的表现。

提出的方法

• 推导在弱外生性下OLS偏差主导项的公式，表明其源于归一化设计矩阵 $\frac{1}{T}X'X$ 的渐近随机性。
• 提出一种新估计量，其方法类似于工具变量（IV）方法，使用当前回归变量及其滞后项的线性组合作为“人工”工具变量。
• 构建该工具变量，使其由内生性引起的偏差与弱外生性导致的OLS偏差方向一致并相互抵消。
• 在导致OLS不一致的相同假设下，建立新估计量的渐近一致性和条件渐近正态性。
• 提供基于校正后估计量渐近分布的推断方法，包括标准误和置信区间。
• 将偏差校正方法推广至存在多期反馈效应的情形，而不仅限于单期滞后反馈。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱外生性下，具有大量回归变量的线性时间序列模型中，OLS在何种条件下会变得不一致？
• RQ2 OLS偏差的大小如何依赖于回归变量的数量及其自相关结构？
• RQ3 能否构造一种偏差校正估计量，在不增加方差的前提下恢复一致性？
• RQ4 在有限样本中，OLS与所提出的估计量在置信集覆盖和统计显著性方面有何差异？
• RQ5 在典型的宏观经济学应用中，结果对后续回归变量的反馈在多大程度上普遍存在？

主要发现

• 在弱外生性下，即使所有变量均平稳且反馈仅限于一期，当存在大量回归变量时，OLS估计量仍为渐近不一致。
• OLS偏差为一阶，且随回归变量数量及其一阶前向线性可预测性而增加，而非如普遍认为的二阶。
• 所提出的偏差校正估计量在导致OLS不一致的相同假设下，仍具有一致性与渐近正态性。
• 模拟结果表明，新估计量的标准差与OLS极为接近，无明显顺序关系，表明偏差校正未带来显著的方差损失。
• 在第90百分位模拟中，OLS与新估计量之间的差异具有统计显著性；当 $K > 75$ 时，OLS与IV估计值落在彼此95%置信集之外。
• OLS与新估计量差异的标准差比任一估计量的标准误大五倍以上，表明差异主要源于偏差而非抽样变异性。