[论文解读] Linear representations of hereditarily non-sensitive dynamical systems

Eli Glasner, Michael Megrelishvili|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 29

一句话总结

本文引入了Radon-Nikodým (RN) 系统——即在具有Radon-Nikodým性质的对偶Banach空间中线性可表示的紧致G-动力系统——并证明在度量系统中，RN、完全非敏感（HNS）和完全几乎等度连续（HAE）三类系统是等价的。主要贡献在于通过包络半群将HNS系统表征为大小至多为连续统的可分Rosenberg紧致集，并证明离散可数群在这些系统中至多存在两个到一的度量因子。

ABSTRACT

Abstract. For an arbitrary topological group G any compact G-dynamical system (G, X) can be linearly G-represented as a weak ∗-compact subset of a dual Banach space V ∗. As was shown in [44] the Banach space V can be chosen to be reflexive iff the metric system (G, X) is weakly almost periodic (WAP). In this paper we study the wider class of compact G-systems which can be linearly represented as a weak ∗-compact subset of a dual Banach space with the Radon-Nikod´ym property. We call such a system a Radon-Nikod´ym system (RN). One of our main results is to show that for metrizable compact G-systems the three classes: RN, HNS (hereditarily not sensitive) and HAE (hereditarily almost equicontinuous) coincide. We investigate these classes and their relation to previously studied classes of G-systems such as WAP and LE (locally equicontinuous). We show that the Glasner-Weiss examples of recurrent-transitive locally equicontinuous but not weakly almost periodic cascades are actually RN. We also show that for symbolic systems the RN property is equivalent to having a countable phase space; and that any Z-dynamical system (f, X), where X is either the unit interval or the unit circle and f: X → X is a homeomorphism, is an RN system. Using fragmentability and Namioka’s theorem we give an enveloping semigroup characterization of HNS and show that the enveloping semigroup of a compact metrizable HNS system is a separable Rosenthal compact, hence of cardinality ≤ 2 ℵ0. Moreover, applying a theorem of Todor˘cević we show, for discrete countable acting groups, that it admits an at most two-to-one metric factor.

研究动机与目标

• 表征那些在具有Radon-Nikodým性质的对偶Banach空间中可线性表示的紧致G-动力系统。
• 研究RN系统与先前研究过的类如WAP和LE（局部等度连续）系统之间的关系。
• 确定Glasner-Weiss构造的具有递归传递性、局部等度连续但非WAP的级数是否为RN系统。
• 澄清符号系统成为RN系统的条件，特别是与可数相空间的关系。
• 利用包络半群和Namioka定理，提供HNS系统的拓扑与泛函分析表征。

提出的方法

• 利用任意紧致G-系统在Banach空间V∗的对偶空间中的弱∗-紧致嵌入，其中V被选取为具有Radon-Nikodým性质以适用于RN系统。
• 应用可分性与Namioka定理分析HNS系统包络半群的结构。
• 运用Todorčević定理推导离散可数作用群的度量因子化结果。
• 通过拓扑与泛函分析技术，建立在度量紧致G-系统中RN与HNS/HAE类之间的等价性。
• 通过将RN性质与相空间的基数关联，分析符号系统，证明当相空间为可数时两者等价。
• 利用Rosenberg紧致集理论，界定HNS系统包络半群的大小，证明其至多为2ℵ₀。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有完全非敏感（HNS）系统是否都可在具有Radon-Nikodým性质的对偶Banach空间中线性表示，即是否均为RN系统？
• RQ2 是否存在基于等度连续性与敏感性等拓扑与动力学性质的RN系统完整分类？
• RQ3 Glasner-Weiss构造的具有递归传递性、局部等度连续但非弱几乎周期的级数是否为RN系统的例子？
• RQ4 对于符号系统，RN性质是否等价于相空间为可数？
• RQ5 度量HNS系统的包络半群结构如何？其大小能否被限定？

主要发现

• 在度量紧致G-系统中，RN、HNS与HAE三类系统是等价的。
• 任意度量紧致HNS系统的包络半群是可分的Rosenberg紧致集，因此其基数至多为2ℵ₀。
• Glasner-Weiss构造的具有递归传递性、局部等度连续但非WAP的级数被证明是RN系统。
• 对于符号系统，RN性质成立当且仅当相空间为可数。
• 任意Z-动力系统(f, X)，其中X为单位区间或单位圆周，f为同胚，均为RN系统。
• 对于离散可数作用群，每个HNS系统均存在至多两个到一的度量因子，此结论由Todorčević定理确立。