[论文解读] Linear Response Theory: A Modern Analytic-Algebraic Approach

Giuseppe De Nittis, Max Lein|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文提出了一套严谨的现代解析-代数框架，用于量子系统中的线性响应理论（LRT），采用非交换积分和冯·诺依曼代数技术。该框架在一般设定下建立了科布公式及其绝热极限，使量子霍尔效应能够获得拓扑解释，并将LRT推广至标准周期模型之外的随机和非周期系统。

ABSTRACT

Linear response theory is a tool with which one can study systems that are driven out of equilibrium by external perturbations. This monograph presents a thoroughly modern framework to make linear response theory rigorous for a wide array of systems, that is suitable for novel applications such as periodic and random light conductors not yet covered in the literature. Our analytic-algebraic approach, based on von Neumann algebras and associated non-commutative $L^p$-spaces, can deal with discrete and continuous models alike, and include effects of disorder. First, we explain the mathematical setting, give a complete list of our hypotheses and state the main results, which include Kubo and Kubo-Streda formulas. To make our book accessible to a wide audience, we spend Chapters 3 and 4 explaining the mathematical underpinnings such as non-commutative $L^p$- and Sobolev spaces, and generalized commutators. Furthermore, we show how to construct a von Neumann algebras from a topological dynamical system and a 2-cocycle, a procedure which applies to discrete and continuous quantum systems. We dedicate Chapters 5 and 6 to the proofs of our main results. We close the book by sketching a novel application, linear response theory for periodic and random light conductors. This monograph is aimed at advanced students in mathematical physics and researchers.

研究动机与目标

• 为适用于广泛类量子系统的线性响应理论建立严格的数学基础，包括随机和非周期介质。
• 统一处理具有遍历动力学系统的线性响应，超越周期或均匀设定。
• 在一般冯·诺依曼代数设定下，提供科布公式及其绝热极限的框架以加以证明。
• 通过科布-斯特雷达公式，在非周期和无序系统中实现对量子霍尔效应的拓扑解释。
• 推广具有无界算子和非平凡谱性质系统的电导率和电流响应概念。

提出的方法

• 使用配备有正规、半有限、忠实迹（迹态）的冯·诺依曼代数可观测量来表述动力学。
• 通过遍历系统的单位体积迹引入非交换Lp空间和可测算子。
• 应用广义换位子和非交换索伯列夫空间以处理无界微扰和空间导数。
• 利用同谱变换和T-相容导子定义非交换梯度和正则性条件。
• 通过比较绝热微扰下时间演化平衡态推导科布公式。
• 利用测度收敛和谱理论建立绝热极限，从而导出科布-斯特雷达公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非周期和随机量子系统中严格表述线性响应理论？
• RQ2 单位体积迹在定义宏观响应函数（如电导率）中起什么作用？
• RQ3 电导率张量的绝热极限如何与无序系统中的拓扑不变量相关联？
• RQ4 科布公式能否在包含无界可观测量的一般冯·诺依曼代数设定下推导出来？
• RQ5 电流的线性响应与非周期介质中哈密顿量的谱性质之间有何关联？

主要发现

• 本文建立了基于直接积分分解和协变随机算子的遍历动力系统中线性响应的一般框架。
• 证明了绝热微扰下酉传播子的存在性，并推导了相互作用绘景中可观测量的时间演化。
• 在非交换Lp空间和可测算子的一般设定下，严格推导出电导率的科布公式。
• 证明了电导率张量的绝热极限收敛于科布-斯特雷达公式，从而将其与拓扑绝缘体中的陈数联系起来。
• 零温极限下，霍尔电导率被解释为谱不变量，与TKNN公式一致。
• 该框架适用于连续和离散模型，包括具有随机势的薛定谔算子和紧束缚哈密顿量。