[论文解读] Linear response theory for quantum open systems

Jianhua Wei, YiJing Yan|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 3

一句话总结

该论文基于费曼的影响力泛函和层级方程（HEOM），发展了一套量子开放系统的线性响应理论，实现了在无时间依赖驱动的情况下直接计算稳态动力学可观测量（如谱函数）。关键贡献在于将库伯的线性响应理论推广至开放量子系统，通过在HEOM空间中利用涨落-耗散关系推导出谱函数。

ABSTRACT

Basing on the theory of Feynman's influence functional and its hierarchical equations of motion, we develop a linear response theory for quantum open systems. Our theory provides an effective way to calculate dynamical observables of a quantum open system at its steady-state, which can be applied to various fields of non-equilibrium condensed matter physics.

研究动机与目标

• 将线性响应理论从平衡闭合系统推广至具有时间平移对称性的量子开放系统。
• 解决在不施加时间依赖场的情况下，对静态开放系统动力学可观测量（如关联函数和谱）的计算挑战。
• 为非平衡凝聚态物理、分子电子学和纳米物理提供一个实用的理论框架。
• 通过层级方程（HEOM）建立影响力泛函形式与开放量子系统中线性响应之间的联系。

提出的方法

• 基于费曼影响力泛函形式，推导出约化密度算符（RDO）和辅助影响力泛函的层级方程（HEOM）。
• 利用影响力泛函的分解性质：$ F = F_A \cdot F_B $，意味着 $ \Phi = \Phi_A + \Phi_B $，以线性方式处理多个探测场。
• 引入刘维尔空间传播器形式，定义时间演化超算符 $ \mathcal{G}_{\mathbf{j}}^{(n)}(t) $，使HEOM空间中的动力学求解成为可能。
• 通过传播器 $ \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(t) $，利用系统在微扰作用下的时间有序演化，构建响应关联函数 $ \widetilde{C}_{AB}(t) $。
• 在HEOM空间中利用涨落-耗散关系推导谱函数 $ J_{AB}(\omega') $：$ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{2\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) \langle\!\langle \boldsymbol{A}(0) | \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(\omega) \boldsymbol{B} | \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) \rangle\!\rangle $。
• 通过求解稳态条件 $ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}_s \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) = 0 $，获得所需的平衡密度算符 $ \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) $，用于关联函数的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性响应理论能否推广至非平衡且在传统意义上不具有时间平移不变性的量子开放系统？
• RQ2 如何在不施加时间依赖扰动的情况下，直接计算静态开放系统中如谱函数等动力学可观测量？
• RQ3 影响力泛函的分解性质在实现对多个探测场的线性响应中起到什么作用？
• RQ4 在开放量子系统的HEOM框架下，涨落-耗散定理应如何重新表述？
• RQ5 刘维尔空间传播器 $ \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(\omega) $ 与谱函数 $ J_{AB}(\omega) $ 之间的确切联系是什么？

主要发现

• 该论文基于HEOM形式，建立了量子开放系统的线性响应理论，实现了在无时间依赖驱动下直接计算稳态动力学可观测量。
• 谱函数 $ J_{AB}(\omega) $ 推导为 $ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{2\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) \mathrm{Tr}[A^+ \sigma(\omega)] $，其中 $ \sigma(\omega) $ 为傅里叶变换后的响应算符。
• 在HEOM空间中，涨落-耗散关系被明确验证为 $ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) C_{AB}(\omega) $，将谱函数与关联函数 $ C_{AB}(\omega) $ 联系起来。
• 通过求解 $ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}_s \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) = 0 $，获得平衡密度算符 $ \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) $，这是计算所有响应函数所必需的。
• 该形式可从关联函数 $ \widetilde{C}_{AB}(t) $ 推导出滞后格林函数 $ G_{AB}^r(t) $，公式为 $ G_{AB}^r(t) = -i\theta(t)[\widetilde{C}_{AB}(t) + \widetilde{C}_{BA}(-t)] $，即使在费米子系统中也成立。
• 由于其基于HEOM框架，该方法适用于广泛的非平衡量子系统，包括分子电子学、纳米物理和多体物理中的系统。