[论文解读] Linear Response Theory for Random Schrödinger Operators and Noncommutative Integration

Nicolas Dombrowski, François Germinet|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过非交换 L^p 空间，对无序量子系统中的电导率的 Kubo 公式进行了严格且系统的推导，提供了比以往方法更清晰的数学框架。当费米能级位于局域谱区域时，该工作恢复了量子霍尔效应的 Kubo-Sträta 公式，验证了在含磁场的随机薛定谔算符背景下线性响应理论的有效性。

ABSTRACT

We consider an ergodic Schrödinger operator with magnetic field within the non-interacting particle approximation. Justifying the linear response theory, a rigorous derivation of a Kubo formula for the electric conductivity tensor within this context can be found in a recent work of Bouclet, Germinet, Klein and Schenker. If the Fermi level falls into a region of localization, the well-known Kubo-Streda formula for the quantum Hall conductivity at zero temperature is recovered. In this review we go along the lines of but make a more systematic use of noncommutative Lp-spaces, leading to a somewhat more transparent proof.

研究动机与目标

• 为具有磁场的无序量子系统中的电导率线性响应理论提供一个数学上严格的推导。
• 通过系统地运用非交换 L^p 空间，简化并澄清先前工作（BoGKS）的数学框架。
• 将推导扩展至时变电场，涵盖交流电导率，并在零温条件下建立电导率张量的存在性。
• 当费米能级位于局域谱区域时，恢复量子霍尔电导率的 Kubo-Sträta 公式。

提出的方法

• 基于非交换 L^p 空间和冯诺依曼代数的形式体系，处理随机薛定谔系统中协变可测算符。
• 利用杜哈梅尔公式表达在绝热开关电场下密度矩阵的时间演化。
• 通过在零场强度下对密度矩阵关于电场求导，推导电流算符。
• 应用谱定理和预解技术，在绝热极限下计算电导率张量。
• 利用冯诺依曼代数上的迹 $τ$ 定义电导率为涉及谱投影及其导数的对换子的迹。
• 通过 L^p 空间和强算子拓扑中的收敛性，证明绝热极限的合理性，从而推导出最终的 Kubo 公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过非交换积分方法，严格推导出随机薛定谔算符中电导率的线性响应理论？
• RQ2 使用非交换 L^p 空间如何简化并澄清 Kubo 公式推导的数学结构？
• RQ3 在何种条件下，所推导的 Kubo 公式会退化为量子霍尔效应的 Kubo-Sträta 公式？
• RQ4 对于时变电场，特别是交流电导率区域，电导率张量的行为如何？
• RQ5 在局域系统背景下，能否严格证明绝热极限的存在性，从而得到有限的电导率？

主要发现

• 通过非交换 L^p 空间，严格推导出电导率张量的 Kubo 公式，其证明比以往方法更为清晰透明。
• 证明了电导率的绝热极限存在，并在零温下给出标准的直接电导率表达式。
• 当费米能级位于谱的局域区域时，所推导的公式退化为量子霍尔效应的 Kubo-Sträta 公式。
• 通过修改公式中的预解算子，可获得交流电导率，且当频率趋于零时，可通过已知技术取极限。
• 电导率张量被表达为涉及谱投影及其导数的对换子的迹：$\sigma_{jk}^{(E_F)} = -i\mathcal{T}\left\{P^{(E_F)}\left[\partial_j P^{(E_F)}, \partial_k P^{(E_F)}\right]\right\}$。
• 通过 L^2 空间中的强算子收敛性及李乌维拉算子 $\mathcal{L}_2$ 的谱理论，证明了绝热极限的收敛性。