[论文解读] Linear scaling algorithms for solving high-dimensional nonlinear parabolic differential equations

E Weinan, Martin Hutzenthaler+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Differential Equations and Numerical Methods被引用 3

一句话总结

本文通过结合费曼-卡茨公式与比斯马-埃利沃西-李公式，并采用多级皮卡迭代分解，提出了一种新颖的线性尺度算法，用于求解高维非线性抛物型偏微分方程。该方法在任意 $\delta > 0$ 下实现了 $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ 的计算复杂度，证明了对具有梯度无关非线性的半线性热方程具有高效的收敛性。

ABSTRACT

We introduce a new family of numerical algorithms for approximating solutions of general high-dimensional semilinear parabolic partial differential equations at single space-time points. The algorithm is obtained through a delicate combination of the Feynman-Kac and the Bismut-Elworthy-Li formulas, and an approximate decomposition of the Picard fixed-point iteration with multilevel accuracy. The algorithm has been tested on a variety of semilinear partial differential equations that arise in physics and finance, with very satisfactory results. Analytical tools needed for the analysis of such algorithms, including a semilinear Feynman-Kac formula, a new class of semi-norms and their recursive inequalities, are also introduced. They allow us to prove for semilinear heat equations with gradient-independent nonlinearity that the computational complexity of the proposed algorithm is bounded by $O(d\,\varepsilon^{-(4+\delta)})$ for any $\delta \in (0,\infty)$ under suitable assumptions, where $d\in \mathbb{N}$ is the dimensionality of the problem and $\varepsilon\in(0,\infty)$ is the prescribed accuracy.

研究动机与目标

• 解决物理学与金融学中高维非线性抛物型偏微分方程的计算不可行性问题。
• 开发一种在维度上具有线性尺度的数值算法，以高效求解此类偏微分方程。
• 在一般假设下，为所提方法建立严格的复杂度边界。
• 引入新的分析工具，包括半线性费曼-卡茨公式和递归半范数不等式。
• 证明该算法在任意 $\delta > 0$ 下，以 $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ 的复杂度实现精度 $\varepsilon$。

提出的方法

• 该算法结合了用于解的随机表示的费曼-卡茨公式与用于导数估计的比斯马-埃利沃西-李公式。
• 采用皮卡不动点迭代的多级近似以控制各层级的误差。
• 引入一类新的半范数及其递归不等式，用于分析误差传播。
• 该方法将解的过程分解为分层结构，从而实现高效计算。
• 该方法在物理学与金融学中的高维测试用例的半线性偏微分方程上得到验证。
• 理论分析依赖于随机表示和递归误差边界，以推导复杂度估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 高维非线性抛物型偏微分方程的数值算法能否在维度上实现线性尺度？
• RQ2 使用随机不动点迭代求解具有梯度无关非线性的半线性热方程时，其计算复杂度是多少？
• RQ3 如何结合费曼-卡茨公式与比斯马-埃利沃西-李公式以实现多级近似？
• RQ4 求解高维随机偏微分方程时，需要哪些新的分析工具来控制误差？
• RQ5 在适当假设下，所提方法能否在任意 $\delta > 0$ 下实现 $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ 的复杂度？

主要发现

• 所提算法在求解具有梯度无关非线性的半线性热方程时，实现了 $O(d\varepsilon^{-(4+\delta)})$ 的计算复杂度，其中任意 $\delta > 0$。
• 在系数与非线性项满足适当的正则性与有界性假设下，该复杂度边界依然成立。
• 该方法利用皮卡迭代的多级分解，在降低计算成本的同时保持了精度。
• 推导出一种新的半线性费曼-卡茨公式，用于表示一般半线性抛物型偏微分方程的解。
• 引入一类新的半范数的递归不等式，并用于控制各层级间的误差传播。
• 该算法在物理学与金融学中的基准问题上表现出强劲的实验性能。