[论文解读] Linear-Size Hopsets with Small Hopbound, and Distributed Routing with Low Memory

Becker, Ruben, Karrenbauer, Andreas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 16

一句话总结

该论文提出了一种新型线性规模的hopset构造方法，显著降低了其边长上限，对任意 ε > 0，实现了 β = O((log log n / ε)^{log log n})。该方法在分布式和PRAM模型中结合分层聚类与指针跳跃技术，实现了多项式对数时间的构造过程，并实现了近乎最优的路由性能，每个顶点使用 O(n^{1/k}) 的内存和 O(k) 的拉伸度。

ABSTRACT

For a positive parameter $β$, the $β$-bounded distance between a pair of vertices $u,v$ in a weighted undirected graph $G = (V,E,ω)$ is the length of the shortest $u-v$ path in $G$ with at most $β$ edges, aka {\em hops}. For $β$ as above and $ε>0$, a {\em $(β,ε)$-hopset} of $G = (V,E,ω)$ is a graph $G' =(V,H,ω_H)$ on the same vertex set, such that all distances in $G$ are $(1+ε)$-approximated by $β$-bounded distances in $G\cup G'$. Hopsets are a fundamental graph-theoretic and graph-algorithmic construct, and they are widely used for distance-related problems in a variety of computational settings. Currently existing constructions of hopsets produce hopsets either with $Ω(n \log n)$ edges, or with a hopbound $n^{Ω(1)}$. In this paper we devise a construction of {\em linear-size} hopsets with hopbound $(\log n)^{\log^{(3)}n+O(1)}$. This improves the previous bound almost exponentially. We also devise efficient implementations of our construction in PRAM and distributed settings. The only existing PRAM algorithm \cite{EN16} for computing hopsets with a constant (i.e., independent of $n$) hopbound requires $n^{Ω(1)}$ time. We devise a PRAM algorithm with polylogarithmic running time for computing hopsets with a constant hopbound, i.e., our running time is exponentially better than the previous one. Moreover, these hopsets are also significantly sparser than their counterparts from \cite{EN16}. We use our hopsets to devise a distributed routing scheme that exhibits near-optimal tradeoff between individual memory requirement $ ilde{O}(n^{1/k})$ of vertices throughout preprocessing and routing phases of the algorithm, and stretch $O(k)$, along with a near-optimal construction time $\approx D + n^{1/2 + 1/k}$, where $D$ is the hop-diameter of the input graph.

研究动机与目标

• 构造大小为 O(n^{1+1/κ}) 且边长上限 β 为次多项式函数的 (β, ε)-hopset。
• 在PRAM模型中实现构造常数边长上限hopset的多项式对数时间复杂度。
• 设计一种分布式路由方案，实现近乎最优的内存使用（每个顶点 O(n^{1/k})）和 O(k) 的拉伸度。
• 克服线性规模hopset中大小与边长上限之间的权衡问题。
• 在分布式构造时间中消除对尺度比 Λ 的依赖，实现纯粹组合意义上的运行时间。

提出的方法

• 利用虚拟树和重轻分解技术构建分层聚类，以降低边长上限。
• 在分布式环境中采用指针跳跃技术，在 O(log n) 轮内传播子树大小和标签。
• 采用递归聚类方法构建 (β, ε)-hopset，其中 β = O((log κ / ε)^{log κ + O(1)})，当 κ = log n 时可实现线性规模。
• 在PRAM模型中实现构造，时间复杂度为 O((log n / ε)^{log κ + 1/ρ + O(1)})，工作量为 O(|E| · n^ρ)。
• 将hopset应用于设计一种紧凑路由方案，每个顶点的标签大小为 O(log n)，路由表大小为 O(1)。
• 在CONGEST模型中使用分布式指针跳跃技术，在 ˜O(√n + D) 轮内完成计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出边长上限在 n 上为次多项式函数的线性规模hopset，从而优于先前工作的 nΩ(1) 边长上限？
• RQ2 是否可能在多项式对数时间复杂度内构造出常数边长上限的hopset，从而克服先前算法的 nΩ(1) 时间复杂度？
• RQ3 能否设计出每个顶点使用 O(n^{1/k}) 内存、拉伸度为 O(k) 的分布式路由方案，同时保持近乎最优的构造时间？
• RQ4 能否使分布式模型中的构造时间独立于尺度比 Λ？
• RQ5 能否将hopset的大小减少到 O(n) 的同时，仍保持次多项式边长上限？

主要发现

• 构造出大小为 O(n^{1+1/κ})、边长上限 β = O((log log n / ε)^{log log n + O(1)}) 的 (β, ε)-hopset，相较于先前线性规模hopset的 O(n^{4+α}) 边长上限有显著改进。
• 在PRAM模型中实现了构造常数边长上限hopset的多项式对数时间复杂度 O((log n / ε)^{log κ + 1/ρ + O(1)})，相较于 [EN16a] 的 nΩ(1) 时间复杂度实现了指数级提升。
• 在CONGEST模型中设计出一种分布式路由方案，标签大小为 O(log n)，路由表大小为 O(1)，每个顶点使用 O(n^{1/k}) 内存，拉伸度为 O(k)。
• 将构造时间减少至 ˜O(√n + D) 轮，且独立于尺度比 Λ。
• 在单棵树中实现计算路由标签和表的 ˜O(√n + D) 运行时间，每个顶点仅需 O(log n) 的内部内存。
• 将方案扩展至支持每个顶点最多 s 棵树的情况，实现 ˜O(√s · n + D) 的时间复杂度，每个顶点使用 O(s · log n) 内存。