[论文解读] Linear stability analysis for 2D shear flows near Couette in the isentropic Compressible Euler equations

Paolo Antonelli, Michele Dolce+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 63被引用 4

一句话总结

该论文通过分别分析可压缩与不可压缩分量，建立了近库埃特剪切流的二维等熵可压缩欧拉流的线性稳定性。证明了可压缩分量呈现超线性时间增长，不可压缩分量则表现出更慢衰减速率的无粘性阻尼，方法包括加权能量估计及在标准守恒律缺失时建立的涡度与密度之间的函数关系。

ABSTRACT

In this paper, we investigate linear stability properties of the 2D isentropic compressible Euler equations linearized around a shear flow given by a monotone profile, close to the Couette flow, with constant density, in the domain $\mathbb{T} imes \mathbb{R}$. We begin by directly investigating the Couette shear flow, where we characterize the linear growth of the compressible part of the fluid while proving time decay for the incompressible part (inviscid damping with slower rates). Then we extend the analysis to monotone shear flows near Couette, where we are able to give an upper bound, superlinear in time, for the compressible part of the fluid. The incompressible part enjoys an inviscid damping property, analogous to the Couette case. In the pure Couette case, we exploit the presence of an additional conservation law (which connects the vorticity and the density on the moving frame) in order to reduce the number of degrees of freedom of the system. The result then follows by using weighted energy estimates. In the general case, unfortunately, this conservation law no longer holds. Therefore we define a suitable weighted energy functional for the whole system, which can be used to estimate the irrotational component of the velocity but does not provide sharp bounds on the solenoidal component. However, even in the absence of the aforementioned additional conservation law, we are still able to show the existence of a functional relation which allows us to recover somehow the vorticity from the density, on the moving frame. By combining the weighted energy estimates with the functional relation we also recover the inviscid damping for the solenoidal component of the velocity.

研究动机与目标

• 分析近单调剪切流（接近库埃特流）的二维等熵可压缩欧拉方程的线性稳定性。
• 理解在该类剪切流附近线性化时，可压缩与不可压缩分量的行为。
• 通过构建函数关系，克服一般剪切流中涡度与密度无守恒律的问题。
• 建立加权能量估计，实现可压缩分量的超线性时间增长与不可压缩分量的无粘性阻尼。
• 将纯库埃特情况下的已知结果推广至具有广义速度分布的邻近单调剪切流。

提出的方法

• 在接近库埃特的单调剪切流附近线性化等熵可压缩欧拉方程，其中密度为常数，速度分布为 $ U(y) = y + b(y) $，且 $ b $ 很小。
• 将速度分解为无旋与螺线（无散）分量，以分别分析可压缩（无旋）与不可压缩（无散）部分。
• 使用时间依赖权重的加权能量估计，以控制可压缩分量的增长，尤其在涡度-密度守恒律缺失的情况下。
• 定义一种新型加权能量泛函，以捕捉整个系统的动力学行为，并实现对无旋速度分量的控制。
• 在移动参考系中建立涡度与密度之间的函数关系，以在缺乏守恒律的情况下恢复对无散分量的控制。
• 应用诺伊曼级数展开与算子范数估计，以控制线性化系统中出现的预解算子，特别是 $ \Delta_t^{-1} $ 及相关算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在库埃特流附近的二维可压缩欧拉方程线性化系统中，流体可压缩分量的长期行为如何？
• RQ2 一般剪切流中涡度-密度守恒律的缺失，相较于纯库埃特情况，如何影响稳定性分析？
• RQ3 在无标准守恒律的情况下，能否在接近库埃特的剪切流中仍建立不可压缩（无散）分量的无粘性阻尼？
• RQ4 在移动参考系中，何种涡度与密度之间的函数关系可实现对一般剪切流中无散分量的控制？
• RQ5 加权能量估计能否被调整以在非库埃特剪切流中获得可压缩分量的超线性时间增长界？

主要发现

• 在接近库埃特的剪切流中，流体可压缩分量表现出超线性时间增长，其增长被控制在 $ O(t^{1+\epsilon}) $ 以内，对任意 $ \epsilon > 0 $ 成立。
• 不可压缩（无散）分量表现出无粘性阻尼，但衰减速率慢于库埃特情况，原因在于标准守恒律的缺失。
• 在移动参考系中推导出涡度与密度之间的函数关系，使得即使在缺乏守恒律的情况下，也能实现对无散分量的控制。
• 成功将加权能量估计应用于整个系统，实现了对无旋速度分量的控制，并恢复了对无散分量的无粘性阻尼。
• 通过构造新型能量泛函并使用预解算子的诺伊曼级数展开，将经典库埃特稳定性结果推广至更广泛的单调剪切流类别。
• 证明依赖于算子范数估计与加权 $ L^2 $ 估计，其中 $ \|B\Phi_b f\|_{H^s} \leq \frac{1}{1 - C\epsilon} \|Bf\|_{H^s} $，确保在小扰动下的稳定性。