[论文解读] Linear structures on locales

Pedro Resende, João Paulo Santos|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过定义谱向量丛和线性化局部域，将经典拓扑空间与局部域之间的伴随关系线性化，建立了谱向量丛与线性化局部域之间的伴随关系，并在分离与空间情形下限制为等价关系。引入了开支撑拓扑，并证明了对于任意拓扑向量空间，不存在通用的谱向量丛。

ABSTRACT

We define a notion of morphism for quotient vector bundles that yields both a category $ extit{QVBun}$ and a contravariant global sections functor $C: extit{QVBun}^{ extrm{op}} o extit{Vect}$ whose restriction to trivial vector bundles with fiber $F$ coincides with the contravariant functor $ extit{Top}^{ extrm{op}} o extit{Vect}$ of $F$-valued continuous functions. Based on this we obtain a linear extension of the adjunction between the categories of topological spaces and locales: (i) a linearized topological space is a spectral vector bundle, by which is meant a mildly restricted type of quotient vector bundle; (ii) a linearized locale is a locale $ riangle$ equipped with both a topological vector space $A$ and a $ riangle$-valued support map for the elements of $A$ satisfying a continuity condition relative to the spectrum of $ riangle$ and the lower Vietoris topology on $\operatorname{Sub} A$; (iii) we obtain an adjunction between the full subcategory of spectral vector bundles $ extit{QVBun}_Σ$ and the category of linearized locales $ extit{LinLoc}$, which restricts to an equivalence of categories between sober spectral vector bundles and spatial linearized locales. The spectral vector bundles are classified by a finer topology on $\operatorname{Sub} A$, called the open support topology, but there is no notion of universal spectral vector bundle for an arbitrary topological vector space $A$.

研究动机与目标

• 将经典拓扑空间与局部域之间的伴随关系推广到向量丛的线性设定中。
• 定义谱向量丛的范畴，该范畴推广了局部平凡向量丛，并支持连续截面。
• 引入线性化局部域，即配备拓扑向量空间与满足伴随条件的连续支撑映射的局部域。
• 在谱向量丛与线性化局部域之间建立伴随关系，并在分离与空间情形下实现等价。
• 研究通用谱向量丛的存在性，并证明其在一般拓扑向量空间中不存在。

提出的方法

• 通过平凡丛的开映射定义商向量丛，利用评价映射确保足够多的截面。
• 将拓扑向量空间的谱定义为 Sub(A) 配备下维特里斯拓扑。
• 构造支撑映射 σ: Sub(A) → Ω(X) 与限制映射 γ: Ω(X) → Sub(A)，二者构成伴随关系。
• 将线性化局部域定义为三元组 (△, A, σ, γ)，其中 σ 左伴随于 γ，且 γ 限制在素谱上为连续映射。
• 在 Sub(A) 上使用开支撑拓扑对谱向量丛进行分类，从而细化下维特里斯拓扑。
• 证明谱核映射仅在特定条件下连续，如有限维性或分离性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过向量丛将拓扑空间与局部域之间的伴随关系线性化？
• RQ2 在何种条件下，商向量丛是谱的，即其核映射是连续的？
• RQ3 对于任意拓扑向量空间，是否存在通用谱向量丛？
• RQ4 开支撑拓扑如何细化商向量丛的分类？
• RQ5 在何种条件下，线性化局部域的谱是空间的或分离的？

主要发现

• 谱向量丛范畴 QVBunΣ 与线性化局部域范畴 LinLoc 之间存在伴随关系，且在分离谱向量丛与空间线性化局部域情形下限制为等价。
• Sub(A) 上的开支撑拓扑相较于下维特里斯拓扑，对谱向量丛的分类更为精细。
• 当 dim A 为无限维且 A 为豪斯多夫时，通用丛 U∘A 满足开支撑性质，但其谱核不连续，因此不是谱丛。
• 当 dim A < ∞ 时，丛 U∘A 是分离的，因此是谱丛，因为其谱核连续。
• 当 A 为第一可数且 dim A > 2 时，U∘A 的零截面不闭，表明闭零截面不蕴含费尔连续性。
• Max∘A 中的素开集仅在 dim A < ∞ 时为 sob(V) 的形式；否则存在非 Sobrified 的素开集，如 U_{0,A} = ∅，其不具 sob(V) 的形式。