[论文解读] Linear-Time Algorithm for Long LCF with $k$ Mismatches

Panagiotis Charalampopoulos, Maxime Crochemore+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法来解决长LCFk问题——即在两个字符串之间寻找最多允许k处错配的最长公共因子，当因子长度至少为ℓ = Ω(log²ᵏ⁺² n)时。通过利用差分覆盖和k-完全族的压缩Trie，该方法将问题简化为在同步子串上进行多个LCP查询，对于ℓ ≥ ℓ₀时达到O(n)时间复杂度，对于一般ℓ时达到O(n + n logᵏ⁺¹ n / √ℓ)时间复杂度，其关键成果是在此长度约束下首次实现了长LCFk问题的线性时间解法。

ABSTRACT

In the Longest Common Factor with k Mismatches (LCF_k) problem, we are given two strings X and Y of total length n, and we are asked to find a pair of maximal-length factors, one of X and the other of Y, such that their Hamming distance is at most k. Thankachan et al. [Thankachan et al. 2016] show that this problem can be solved in O(n log^k n) time and O(n) space for constant k. We consider the LCF_k(l) problem in which we assume that the sought factors have length at least l. We use difference covers to reduce the LCF_k(l) problem with l=Omega(log^{2k+2}n) to a task involving m=O(n/log^{k+1}n) synchronized factors. The latter can be solved in O(m log^{k+1}m) time, which results in a linear-time algorithm for LCF_k(l) with l=Omega(log^{2k+2}n). In general, our solution to the LCF_k(l) problem for arbitrary l takes O(n + n log^{k+1} n/sqrt{l}) time.

研究动机与目标

• 在结果长度至少为ℓ的约束下，高效求解最多允许k处错配的最长公共因子（LCFk）问题。
• 为长LCFk问题开发一种线性时间算法，该问题为ℓ = Ω(log²ᵏ⁺² n)的特殊情况。
• 对于任意ℓ，改进LCFk(X, Y, ℓ)的时间复杂度，将其降低至常数k下的O(n + n logᵏ⁺¹ n / √ℓ)。
• 为生物信息学中的序列相似性提供一种实际且理论高效的解决方案，其中长的近似因子且错配较少具有重要意义。

提出的方法

• 使用差分覆盖将LCFk(X, Y, ℓ)问题转化为在X和Y中O(n / √ℓ)个同步位置上寻找最多允许k处错误的最长公共前缀和后缀。
• 通过压缩Trie构建k-完全族，以表示最多允许k处错配的子串的所有可能变体。
• 应用递归重路径分解，将LCPk和LCSk查询简化为在修改后的子串上进行标准LCP和LCS查询。
• 将k-完全族表示为压缩Trie，存储带错误标注和汉明距离信息的字符串。
• 利用先前工作中提出的彩色树技术，高效合并和查询多个字符串族之间的LCP值。
• 在X、XR、Y和YR的联合后缀树上使用LCA查询，以在Trie构建过程中实现子串比较的常数时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当结果长度要求至少为ℓ = Ω(log²ᵏ⁺² n)时，长LCFk问题是否可以在线性时间内求解？
• RQ2 对于任意ℓ，LCFk(X, Y, ℓ)的最优时间复杂度是多少？对于常数k，能否将其改进至O(n logᵏ n)以下？
• RQ3 差分覆盖和k-完全族如何用于减少候选子串数量，同时保持检测最多允许k处错配的长公共因子的能力？
• RQ4 在强指数时间假设下，是否可以实现LCFk的亚二次时间复杂度？长度约束ℓ如何影响这一结果？
• RQ5 压缩Trie和彩色树数据结构在支持容错字符串族上的高效LCP查询中起到什么作用？

主要发现

• 当ℓ ≥ ℓ₀ = 2^O(k) log²ᵏ⁺² n / k²ᵏ时，长LCFk问题可在O(n)时间内求解，该条件在k = O(log n)时成立。
• 对于常数k，LCFk(X, Y, ℓ)问题可在O(n + n logᵏ⁺¹ n / √ℓ)时间内求解，优于先前的O(n logᵏ n)时间界限。
• 该算法利用差分覆盖将候选位置数量减少至O(n / √ℓ)，从而实现高效处理。
• 通过压缩Trie构建k-完全族的时间为O(2ᵏ |F| logᵏ⁺¹ |F| / kᵏ⁺¹)，当ℓ = Ω(log²ᵏ⁺² n)时，该时间复杂度在n上为亚二次。
• 通过利用ℓ = Ω(log²ᵏ⁺² n)的长度约束，该解法实现了长LCFk问题的线性时间复杂度，确保相关子串数量足够少，可高效处理。
• 该方法在实际中具有可行性，适用于生物信息学领域，其中长的近似匹配且错配较少是序列相似性的有意义指标。