[论文解读] Linear-time Algorithm for Partial Representation Extension of Interval Graphs.

Pavel Klavík, Jan Kratochvı́l+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于 PQ-树 的线性时间算法，用于解决区间图中的部分表示扩展问题，能够高效地将给定的部分区间表示扩展为完整表示。主要贡献在于提出了一种构造性解法，可判断剩余区间是否能与固定的部分表示一致地放置，同时在 O(n) 时间内保持区间图的性质。

ABSTRACT

Interval graphs are intersection graphs of closed intervals of the real-line. The well-known computational problem, called recognition, asks for an input graph $G$ whether it can be represented by closed intervals, i.e., whether G is an interval graph. There are several linear-time algorithms known for recognizing interval graphs. In this paper, we study a generalization of recognition, called partial representation extension. Input of this problem consists of a graph G with a partial representation R' fixing positions of some intervals. The problem asks whether it is possible to place the remaining interval and create an interval representation R of the entire graph G extending R'. We give a linear-time algorithm based on PQ-trees which solves this problem.

研究动机与目标

• 解决将图的部分区间表示扩展为完整区间表示的计算挑战。
• 通过将固定区间位置作为输入约束，推广经典的区间图识别问题。
• 开发一种高效算法，判断是否存在满足条件的有效扩展，同时保持区间图结构。
• 实现部分表示扩展问题的线性时间复杂度，优于先前的方法。

提出的方法

• 该算法使用 PQ-树 表示图的所有可能区间表示的集合。
• 通过逐步处理部分表示约束，将 PQ-树 限制为包含固定区间的有效配置。
• 检查部分表示与 PQ-树 结构之间的一致性，确保区间重叠与非重叠关系得到保持。
• 对 PQ-树 执行线性时间遍历，以验证是否存在满足给定部分表示的有效扩展。
• 该方法利用区间图的结构特性和 PQ-树 的层次结构，高效地剪枝无效配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 O(n) 时间内将区间图的部分区间表示扩展为完整表示？
• RQ2 为确保与给定部分表示一致，必须对 PQ-树 结构施加哪些约束？
• RQ3 是否存在一种方法，可在不显式构造所有可能表示的情况下，判断有效扩展的存在性？
• RQ4 如何调整 PQ-树 以处理区间图表示中固定区间位置的情形？

主要发现

• 所提出的算法在 O(n) 时间内解决了区间图的部分表示扩展问题，其中 n 为顶点数。
• 该算法正确判断了是否存在尊重给定部分表示的有效扩展。
• 使用 PQ-树 可在固定区间约束下高效枚举和剪枝区间表示候选。
• 该方法通过在扩展过程中保持区间重叠关系，维护了区间图的结构完整性。