[论文解读] Linear Transports along Paths in Vector Bundles. II. Some Applications

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过在向量丛（特别是微分流形上的张量丛）中用沿路径的任意线性平移替代平行平移，推广了几何测地线理论。引入了L-路径——其切向量在该平移下保持不变的曲线——并证明在特定的可约坐标系中，这些路径是参数的线性函数，当平移为通过线性联络诱导的平行平移时，退化为标准测地线。

ABSTRACT

The linear transports along paths in vector bundles introduced in Ref. [1] are applied to the special case of tensor bundles over a given differentiable manifold. Links with the transports along paths generated by derivations of tensor algebras are investigated. A possible generalization of the theory of geodesics is proposed when the parallel transport generated by a linear connection is replaced with an arbitrary linear transport along paths in the tangent bundle.

研究动机与目标

• 通过在向量丛中用沿路径的任意线性平移替代平行平移，扩展测地线的概念。
• 研究沿路径的线性平移与张量代数导数之间的关系。
• 定义并研究L-路径——其切向量在自身沿路径的给定线性平移下保持不变的曲线。
• 探索在何种条件下，线性平移的矩阵在某个坐标系中变为单位矩阵，从而简化平移方程。
• 建立线性平移的特殊基与线性联络背景下联络系数消失之间的联系。

提出的方法

• 使用向量丛中沿路径的线性平移的一般形式语言，通过纤维之间光滑的线性同构族来定义。
• 应用沿路径的导出导数 ${\cal D}^\gamma$，通过系数 $\Gamma^i_{.j}(s;\gamma)$ 描述平移的无穷小生成元。
• 引入L-路径的概念，作为方程 ${\cal D}^\gamma(\dot\gamma) = 0$ 的解，推广了测地线方程。
• 在平移矩阵变为单位矩阵的局部基中使用，使平移方程简化为 $\frac{d\dot\gamma^i(s)}{ds} = 0$。
• 使用矩阵表示 $H(t,s;\gamma) = F(t;\gamma)^{-1}F(s;\gamma)$ 描述平移的演化，并推导其与系数矩阵 $\Gamma^i_{.j}(s;\gamma)$ 的关系。
• 应用文献[1]和[5]中的结果，表明线性平移的特殊基与联络系数沿路径消失的基一致，尤其在平行平移情形下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在切丛中用沿路径的任意线性平移替代平行平移时，测地线理论应如何推广？
• RQ2 在何种条件下，沿路径的线性平移矩阵在给定基下变为单位矩阵，这对平移结构有何影响？
• RQ3 沿路径的线性平移与张量代数的导数之间有何关系，以及诱导导数 ${\cal D}^\gamma$ 的作用是什么？
• RQ4 在何种条件下，L-路径（在某一线性平移下不变的曲线）在可约坐标系中成为参数的线性函数？
• RQ5 能否将切丛中线性平移的特殊基识别为联络系数沿路径消失的基？

主要发现

• L-路径被定义为满足 ${\cal D}^\gamma(\dot\gamma) = 0$ 的曲线，当平移为平行平移时，该定义推广了标准测地线方程。
• 在与平移相适应的特殊可约坐标系中，L-路径的运动方程简化为 $\frac{d\dot\gamma^i(s)}{ds} = 0$，意味着 $\gamma^i(s)$ 关于 $s$ 是线性的。
• L-路径方程的通解为 $\gamma^i(s) = X^i(s - s_0) + x^i$，表明在这些基中，L-路径是仿射参数化的直线。
• 平移的系数 $\Gamma^i_{.j}(s;\gamma)$ 与矩阵 $H(t,s;\gamma)$ 的导数相关，关系式为 $\Gamma_\gamma(s) = \frac{\partial H}{\partial t}\big|_{t=s} = F^{-1}(s;\gamma)\frac{dF(s;\gamma)}{ds}$。
• 对于线性联络，与之关联的平行平移的特殊基与联络系数沿路径消失的基一致，建立了唯一对应关系。
• 当线性平移为由线性联络诱导的平行平移时，L-路径理论退化为标准测地线理论，确认了与经典微分几何的一致性。