[论文解读] Linear Turan numbers of r-uniform linear cycles and related Ramsey numbers

Clayton Collier-Cartaino, Nathan Graber+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用 19

一句话总结

本文建立了 $r$-均匀线性环的线性图兰数的紧致上界，证明了当 $\ell = 2m$ 或 $\ell = 2m+1$ 时，有 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell) = O(n^{1+1/m})$，从而解决了 Kostochka、Mubayi 和 Verstra€te 提出的问题。此外，本文还推导出 $r$-均匀环-完全图拉姆齐数的新上界，证明了 $R(C^r_{2m}, K^r_t) \leq a_{m,r}(t/\ln t)^{m/(m-1)}$ 与 $R(C^r_{2m+1}, K^r_t) \leq b_{m,r}t^{m/(m-1)}$，将经典结果推广至超图领域。

ABSTRACT

An $r$-uniform hypergraph is called an $r$-graph. A hypergraph is linear if every two edges intersect in at most one vertex. Given a linear $r$-graph $H$ and a positive integer $n$, the linear Turán number $ex_L(n,H)$ is the maximum number of edges in a linear $r$-graph $G$ that does not contain $H$ as a subgraph. For each $\ell\geq 3$, let $C^r_\ell$ denote the $r$-uniform linear cycle of length $\ell$, which is an $r$-graph with edges $e_1,\ldots, e_\ell$ such that $\forall i\in [\ell-1]$, $|e_i\cap e_{i+1}|=1$, $|e_\ell\cap e_1|=1$ and $e_i\cap e_j=\emptyset$ for all other pairs $\{i,j\}, i eq j$. For all $r\geq 3$ and $\ell\geq 3$, we show that there exist positive constants $c_{m,r}$ and $c'_{m,r}$, depending only $m$ and $r$, such that $ex_L(n,C^r_{2m})\leq c_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$ and $ex_L(n,C^r_{2m+1})\leq c'_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$. This answers a question of Kostochka, Mubayi, and Verstraëte. For even cycles, our result extends the result of Bondy and Simonovits on the Turán numbers of even cycles to linear hypergraphs. Using our results on linear Turán numbers we also obtain bounds on the cycle-complete hypergraph Ramsey numbers. We show that there are positive constants $a_{m,r}$ and $b_{m,r}$, depending only on $m$ and $r$, such that $R(C^r_{2m}, K^r_t)\leq a_{m,r} (\frac{t}{\ln t})^\frac{m}{m-1}$ and $R(C^r_{2m+1}, K^r_t)\leq b_{m,r} t^\frac{m}{m-1}$.

研究动机与目标

• 确定 $r$-均匀线性环长度为 $\ell$ 时线性图兰数 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$ 的渐近增长速率。
• 解决 Kostochka、Mubayi 和 Verstra€te 提出的关于 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m})$ 与 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m+1})$ 数量级的问题。
• 将 Bondy-Simonovits 对偶环图兰数的界推广至线性 $r$-均匀超图的情形。
• 推导 $r$-均匀环-完全图拉姆齐数 $R(C^r_\ell, K^r_t)$ 的新上界，推广已知的图论结果。

提出的方法

• 通过基于顶点度数的层级分解，将超图划分为层级集合 $S_k$，从而隔离稀疏子结构以控制边密度。
• 应用一种贪心独立集算法，从层级集合中迭代选取较大的独立集 $S'$，同时移除其邻域以保持线性性。
• 利用度数约束与 $r$-均匀线性条件，对所选独立集的邻域大小进行界定，确保每轮独立集移除的顶点总数为 $O(n^{1/m})$。
• 将迭代的独立集构造与随机抽样论证相结合，推导出独立数的下界，从而获得拉姆齐数的界。
• 利用已知的斯坦纳系与广义 Sidon 集的极值结果，建立 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$ 的构造性下界。
• 应用双重计数与概率删减论证，证明存在边数较多且不含线性 $\ell$-环的 $r$-图，从而支持渐近界的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $r$-均匀线性环长度为偶数 $2m$ 的情形，线性图兰数 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m})$ 的渐近增长速率为何？
• RQ2 能否将 Bondy-Simonovits 对偶环图兰数的界推广至 $r$-均匀线性超图？
• RQ3 $r$-均匀环-完全图拉姆齐数 $R(C^r_\ell, K^r_t)$ 的最紧致上界为何？
• RQ4 是否存在常数 $c_{r,m}$，使得对所有 $r \geq 3$ 与 $m \geq 2$，均有 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) \leq c_{r,m} n^{1+1/m}$？
• RQ5 能否通过广义 Sidon 集等构造方法改进 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$ 的下界？

主要发现

• 对所有 $r \geq 3$ 与 $\ell \geq 3$，线性图兰数满足 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) \leq c_{m,r} n^{1+1/m}$，其中常数 $c_{m,r}$ 仅依赖于 $m$ 与 $r$。
• 类似地，有 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m+1}) \leq c'_{m,r} n^{1+1/m}$，表明奇环也具有相同的渐近增长。
• 界 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) = O(n^{1+1/m})$ 将 Bondy-Simonovits 的图论结果从图推广至 $r$-均匀线性超图。
• 环-完全图拉姆齐数满足 $R(C^r_{2m}, K^r_t) \leq a_{m,r} (t/\ln t)^{m/(m-1)}$，其中常数 $a_{m,r}$ 依赖于 $m$ 与 $r$。
• 对于奇环，有 $R(C^r_{2m+1}, K^r_t) \leq b_{m,r} t^{m/(m-1)}$，其结构与已知图论情形一致。
• 通过稠密线性 $r$-图的随机子图构造，建立了 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell) > c''_{r,\ell} n^{1+1/(\ell-1)}$ 的构造性下界。