[论文解读] Linearizability and fake Lax pair for a consistent around the cube nonlinear non-autonomous quad-graph equation

Giorgio Gubbiotti, Christian Scimiterna+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文研究了Boll对四边形图方程分类中的${}_{t}H_{1}^{\rho}$方程，证明其可通过约化为自治偏差分方程实现线性化，并揭示其Lax对为“虚假”形式——经规范变换后，其谱问题与谱参数及场变量均无关。该方程允许依赖于离散与连续变量的任意函数的非自治广义对称性，反映出其通过线性化与Bäcklund变换实现可积性的特征。

ABSTRACT

We discuss the linearization of a non-autonomous nonlinear partial difference equation belonging to the Boll classification of quad-graph equations consistent around the cube. We show that its Lax pair is fake. We present its generalized symmetries which turn out to be non-autonomous and depending on an arbitrary function of the dependent variables defined in two lattice points. These generalized symmetries are differential difference equations which, in some case, admit peculiar Bäcklund transformations.

研究动机与目标

• 分析Boll对四边形图方程分类中一个非自治非线性偏差分方程的线性化性质。
• 研究其Lax对的本质，证明在规范变换下其为“虚假”形式。
• 构造依赖于两个格点处场变量及连续变量的任意函数的非自治广义对称性。
• 探讨Bäcklund变换在该可线性化系统中的作用。
• 为分析Boll分类中其他可线性化方程奠定基础。

提出的方法

• 通过变量替换将方程约化为自治偏差分方程组，从而实现显式求解与线性化。
• 对方程的Lax对施加规范变换，证明谱问题在变换后与谱参数及场变量均无关，从而确认Lax对为“虚假”形式。
• 将广义对称性构造为依赖于两个格点处场变量及连续变量的任意函数的微分-差分方程。
• 针对特定情形推导Bäcklund变换，表明解通过涉及场变量差值的非线性关系相互关联。
• 区分了在格点指标中具有或不具有参数依赖的情形，特别是当参数$\mathcal{F}^{(+)}_n$与$\mathcal{F}^{(-)}_n$非零时的情形。
• 分别在$m$-方向与$n$-方向研究该系统，针对$\varepsilon = 0$与$\varepsilon \neq 0$两种情形分别处理，以应对非自治项。

实验结果

研究问题

• RQ1 ${}_{t}H_{1}^{\rho}$方程是否具有将之约化为可解自治偏差分方程组的线性化变换？
• RQ2 为何该方程的Lax对被视为“虚假”？这对其可积性结构有何含义？
• RQ3 该方程的广义对称性如何依赖于任意函数与格点指标？这揭示了其可积性的何种特征？
• RQ4 Bäcklund变换在连接广义对称方程解的过程中起何种作用？
• RQ5 该方程的非自治结构能否系统性地处理，以保持线性化与对称性等可积性特征？

主要发现

• 通过将方程约化为自治偏差分方程组的变换，${}_{t}H_{1}^{\rho}$方程实现了线性化，且该方程组可显式求解。
• 该方程的Lax对为“虚假”形式——经规范变换后，其谱问题与谱参数及场变量均无关。
• 广义对称性为非自治微分-差分方程，其依赖于两个格点处场变量及一个连续变量的任意函数。
• 在特定参数选择下，广义对称性允许Bäcklund变换，通过涉及场变量差值的非线性关系关联解。
• 当$\mathcal{F}^{(+)}_n$与$\mathcal{F}^{(-)}_n$非零时，系统表现出对格点指标的非平凡依赖，需通过变量替换转换为偶数或奇数索引以求解。
• 在$\varepsilon = 0$情形下，广义对称性退化为单个非自治微分-差分方程，其对应存在一个Bäcklund变换。