[论文解读] Linearization Instability in Gravity Theories

Emel Altas|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 40被引用 5

一句话总结

本篇哲学博士论文研究了引力理论中的线性化不稳定现象，识别出无法积分成精确解的线性化方程中的虚假解。通过ADM形式化方法，分析了拓扑麦克斯韦引力（TMG）和手征引力中的该现象，表明在手征点处由于非可积扰动导致不稳定，关键结果基于Taub和ADT电荷以及线性化场的二次约束推导得出。

ABSTRACT

In a nonlinear theory, such as gravity, physically relevant solutions are usually hard to find. Therefore, starting from a background exact solution with symmetries, one uses the perturbation theory, which albeit approximately, provides a lot of information regarding a physical solution. But even this approximate information comes with a price: the basic premise of a perturbative solution is that it should be improvable. Namely, by going to higher order perturbation theory, one should be able to improve and better approximate the physical problem or the solution. While this is often the case in many theories and many background solutions, there are important cases where the linear perturbation theory simply fails for various reasons. This issue is well known in the context of general relativity through the works that started in the early 1970s, but it has only been recently studied in modified gravity theories. This thesis is devoted to the study of linearization instability in generic gravity theories where there are spurious solutions to the linearized equations which do not come from the linearization of possible exact solutions. For this purpose we discuss the Taub charges, the ADT charges and the quadratic constraints on the linearized solutions. We give the three dimensional chiral gravity and the $D$ dimensional critical gravity as explicit examples and give a detailed ADM analysis of the topologically massive gravity with a cosmological constant.

研究动机与目标

• 研究非线性引力理论中微扰理论因线性化不稳定性而失效的原因。
• 识别出不源于精确非线性解的线性化方程中的虚假解。
• 分析守恒电荷（Taub与ADT）及二次约束在诊断线性化不稳定性中的作用。
• 为带有宇宙学常数的拓扑麦克斯韦引力（TMG）提供详细的ADM形式化。
• 在手征点处证明三维手征引力与临界引力中的线性化不稳定性。

提出的方法

• 采用ADM分解分析TMG在高斯法向坐标下的哈密顿量与约束结构。
• 通过克里斯托费尔符号、里奇张量与柯西张量的ADM分解，推导出TMG的线性化场方程与约束方程。
• 利用Taub与ADT电荷探测线性化解中的规范不变性与守恒量。
• 对线性化场施加二次约束，以检测违反可积性条件的不可积解。
• 通过从德西特时空到反德西特时空的Wick旋转，研究反德西特时空中扰动的行为。
• 分析手征点条件 $\mu^2 l^2 = 1$，此时线性化方程因扰动方程右侧非零而表现出不稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，线性化微扰理论无法产生可积解？
• RQ2 Taub与ADT电荷如何帮助诊断TMG及相关引力模型中的线性化不稳定性？
• RQ3 二次约束在识别不可积线性化解中起什么作用？
• RQ4 为何线性化不稳定性在三维手征引力的手征点处出现？
• RQ5 TMG的ADM形式化如何揭示高斯法向坐标下约束与场方程的结构？

主要发现

• 在线性化不稳定性的手征点 $\mu^2 l^2 = 1$ 处，TMG中出现线性化不稳定现象，此时扰动方程左侧为零，但右侧非零。
• 在解空间原点处存在具有 $\delta x \neq 0$ 的虚假线性化解，这些解无法被积分成精确解，表明存在线性化不稳定现象。
• 在高斯法向坐标下，柯西张量与场方程的ADM分解揭示了约束结构及不可积模态的出现。
• 在手征点处，扰动方程（C.153）左侧为零但右侧非零，确认了线性化不稳定现象的存在。
• 对Taub与ADT电荷的分析证实了规范不变性问题，并支持了线性化理论中不可积解的存在。
• 本研究表明，线性化不稳定现象并非单纯的技巧性瑕疵，而是某些引力模型（尤其是手征引力与临界引力）中微扰近似法的物理障碍。