[论文解读] Linearization of holomorphic germs with resonant linear part

Ricardo Pérez-Marco|ArXiv.org|Sep 4, 2000

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文研究复空间中具有共振线性部分的全纯微分同胚芽的全纯线性化问题。研究建立了二分法：要么所有形式线性化都收敛（因此全纯线性化存在），要么所有都发散，而后者恰好在Bruno条件不成立时发生。主要贡献在于证明了在最大共振情况下Bruno条件的最优性，解决了小分母问题中长期存在的疑问。

ABSTRACT

We study the linearization problem of germs of holomorphic diffeomorphisms with resonant linear part. The formal linearization requires in general an infinite number of algebraic relations to be satisfied by the coefficients of the power series defining the holomorphic germ. For a fixed germ, the linearizing mappings are not unique, but the existence of a finite jet with a formal divergent linearization but no convergent one forces all the other linearizing mappings to be diverging. We consider also polynomial families formally conjugated to a fixed resonant linear part. Then all the elements of the family are holomorphically linearizable, or we are in the precedent diverging situation for all but an exceptional set of parameter values of zero $Γ$-capacity. In the case of maximal non-trivial resonance we prove the optimality of Bruno condition.

研究动机与目标

• 解决具有共振线性部分的全纯芽的线性化问题，特别是当Bruno条件不成立时的情况。
• 阐明在共振情况下形式线性化与全纯线性化之间的关系。
• 建立二分法：要么所有形式线性化都收敛，要么所有都发散。
• 证明在最大非平凡共振情况下Bruno条件的最优性。
• 分析此类芽的多项式族，表明全纯线性化要么对所有参数普遍成立，要么在零Γ-容量集合上例外。

提出的方法

• 使用形式幂级数和喷射投影来分析原点处形式微分同胚群中形式线性化的结构。
• 应用代数几何，证明形式线性化m阶喷射的集合构成一个仿射代数簇。
• 通过喷射空间之间线性同构的归纳极限构造一个普遍线性化映射。
• 分析芽的多项式族，证明形式线性化在参数中呈多项式变化，并在线性化参数空间中呈线性变化。
• 运用小分母理论和Bruno条件，确定线性化级数的收敛性。
• 通过构造一维中非线性化的全纯映射作为反例，将问题约化为一维动力系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有共振线性部分的全纯芽是全纯线性化的？
• RQ2 Bruno条件在共振芽的形式线性化收敛性中起着何种精确作用？
• RQ3 在最大非平凡共振情况下，Bruno条件对线性化是否最优？
• RQ4 是否存在一个发散的形式线性化，可推出该芽的所有其他形式线性化也均发散？
• RQ5 多项式族芽的全纯线性化在参数空间中的行为如何？

主要发现

• 若一个芽存在发散的形式线性化，则其所有其他形式线性化也均发散。
• 一个芽的收敛线性化集合与该线性部分的全纯中心化子之间存在双射对应。
• 对于给定芽的所有收敛线性化，存在一个统一的收敛半径R₀ > 0。
• 在最大非平凡共振情况下，Bruno条件是最优的：若其不成立，则存在非线性化的芽。
• 对于形式共轭于固定共振线性部分的芽的多项式族，要么所有成员都是全纯线性化的，要么非线性化参数的集合具有零Γ-容量。
• 若存在一个具有非Bruno旋转数的一维非线性化映射，则存在一个具有相同线性部分的高维非线性化芽。