[论文解读] Linearized Asymptotic Stability for Fractional Differential Equations

Nguyen Dinh Cong, Thai Son Doan+2 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Dec 15, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文建立了针对阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的 Caputo 型分数阶微分方程的线性化渐近稳定性定理，证明了若非线性系统在平衡点处的线性化系统的谱位于扇形 $\{\lambda \in \mathbb{C} : |\arg \lambda| > \alpha\pi/2\}$ 内，则该平衡点是渐近稳定的。该结果将 Lyapunov 第一方法推广至分数阶系统，纠正了先前尝试中的缺陷，并为稳定性分析提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

We prove the theorem of linearized asymptotic stability for fractional differential equations. More precisely, we show that an equilibrium of a nonlinear Caputo fractional differential equation is asymptotically stable if its linearization at the equilibrium is asymptotically stable. As a consequence we extend Lyapunov's first method to fractional differential equations by proving that if the spectrum of the linearization is contained in the sector $\{λ\in \C : |\arg λ| > \frac{απ}{2}\}$ where $α> 0$ denotes the order of the fractional differential equation, then the equilibrium of the nonlinear fractional differential equation is asymptotically stable.

研究动机与目标

• 建立分数阶微分方程 Lyapunov 第一方法的严格版本。
• 解决先前关于分数阶系统线性化稳定性证明中的不一致性和缺陷。
• 基于线性化系统的谱，提供非线性系统平衡点渐近稳定的必要且充分条件。
• 通过线性反馈稳定分数阶 Lotka-Volterra 系统，展示理论的适用性。
• 纠正早期工作中对 Gronwall 引理的错误应用以及对解大小的不成立假设。

提出的方法

• 作者分析非线性 Caputo 分数阶微分方程 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t) + f(x(t))$，其中 $f(0) = 0$ 且 $Df(0) = 0$。
• 他们采用已知的线性化系统 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t)$ 的稳定性准则，该准则成立当且仅当 $A$ 的所有特征值满足 $|\arg \lambda| > \alpha\pi/2$。
• 证明依赖于积分不等式和 Mittag-Leffler 函数 $E_\alpha$ 的性质的严格应用，避免了有缺陷的 Gronwall 类似论证。
• 他们利用线性系统的基本解建立比较原理，并通过非线性项的局部 Lipschitz 性质对其加以估计。
• 该方法避免了事先假设解的大小，这一假设在早期证明中是无效的。
• 通过将该方法应用于通过状态反馈控制稳定分数阶 Lotka-Volterra 系统，验证了其有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种谱条件下，非线性 Caputo 分数阶微分方程的平衡点是渐近稳定的？
• RQ2 为何先前尝试证明分数阶系统线性化稳定性的方法失败？这些缺陷如何得以纠正？
• RQ3 Lyapunov 第一方法能否被严格推广至阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的分数阶系统？
• RQ4 如何利用线性反馈稳定分数阶 Lotka-Volterra 系统？
• RQ5 Mittag-Leffler 函数在刻画分数阶系统稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 非线性分数阶微分方程 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t) + f(x(t))$ 的平衡点是渐近稳定的，当且仅当 $A$ 的谱位于扇形 $\{\lambda \in \mathbb{C} : |\arg \lambda| > \alpha\pi/2\}$ 内。
• 该证明纠正了先前的错误，特别是对 Gronwall 引理的无效应用以及对解大小的不成立假设。
• 线性化系统 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t)$ 是渐近稳定的，当且仅当 $\sigma(A) \subset \{\lambda \in \mathbb{C} : |\arg \lambda| > \alpha\pi/2\}$，从而确认了谱条件。
• 对于分数阶 Lotka-Volterra 系统，通过使用 Mittag-Leffler 函数的矛盾论证表明，平凡解在无控制时是不稳定的。
• 通过反馈控制 $u(t) = Kx(t)$，其中 $K = (-2h, 0)$，闭环系统对任意 $\alpha \in (0,1)$ 均为渐近稳定，因为 $A + BK$ 的特征值为 $-h$ 和 $-r$，满足谱条件。
• 该结果提供了一个基于线性化的、稳健且通用的非线性分数阶系统稳定性准则，类似于经典 Lyapunov 理论。