[论文解读] Linearized polynomials over finite fields revisited

Baofeng Wu, Zhuojun Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了有限域上线性化多项式代数的两种新代数表征：一种是作为复合代数 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$，另一种是作为狄克逊矩阵代数 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$。这些同构关系简化了线性化多项式的研究所，尤其在通过矩阵理论方法推导迹表示以及分析秩和置换性质方面。

ABSTRACT

We give new characterizations of the algebra $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ formed by all linearized polynomials over the finite field $\mathbb{F}_{q^n}$ after briefly surveying some known ones. One isomorphism we construct is between $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ and the composition algebra $\mathbb{F}_{q^n}^\vee\otimes_{\mathbb{F}_{q}}\mathbb{F}_{q^n}$. The other isomorphism we construct is between $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^n})$ and the so-called Dickson matrix algebra $\mathscr{D}_n(\mathbb{F}_{q^n})$. We also further study the relations between a linearized polynomial and its associated Dickson matrix, generalizing a well-known criterion of Dickson on linearized permutation polynomials. Adjugate polynomial of a linearized polynomial is then introduced, and connections between them are discussed. Both of the new characterizations can bring us more simple approaches to establish a special form of representations of linearized polynomials proposed recently by several authors. Structure of the subalgebra $\mathscr{L}_n(\mathbb{F}_{q^m})$ which are formed by all linearized polynomials over a subfield $\mathbb{F}_{q^m}$ of $\mathbb{F}_{q^n}$ where $m|n$ are also described.

研究动机与目标

• 提供有限域 $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 上线性化多项式代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 的新代数表征。
• 通过关联狄克逊矩阵的秩，推广狄克逊关于线性化置换多项式的判别准则。
• 通过其狄克逊矩阵引入并研究线性化多项式的伴随多项式。
• 使用分块循环矩阵和迹表示，描述当 $m|n$ 时子代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ 的结构。

提出的方法

• 利用对偶空间和张量积结构，构建 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 与复合代数 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$ 之间的同构。
• 建立 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 与狄克逊矩阵代数 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 之间的第二个同构，其中矩阵由多项式的系数定义。
• 将线性化多项式的伴随多项式定义为其狄克逊矩阵的伴随矩阵所关联的多项式。
• 利用迹函数和正规基表示，推导出线性化多项式的一种特殊迹表示形式。
• 通过证明当 $n=mt$ 时，子代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ 同构于分块循环矩阵代数 $\mathscr{B}\mathscr{C}_{t,m}(\mathbb{F}_{q})$，以及同构于 $\mathscr{M}_{m}(\mathbb{F}_{q}[x]/(x^{t}-1))$，来分析该子代数。
• 利用矩阵理论工具推广狄克逊判别准则，证明线性化多项式的秩等于其关联狄克逊矩阵的秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性化多项式代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 除了已知同构外，还能如何表征？
• RQ2 线性化多项式的秩与其关联狄克逊矩阵的秩之间的确切关系是什么？
• RQ3 狄克逊矩阵的伴随是否可用于定义有意义的伴随多项式？其继承了哪些性质？
• RQ4 当 $m|n$ 时，子代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ 的结构如何？能否使用分块循环矩阵表示？
• RQ5 新同构关系如何简化线性化多项式迹表示的推导？

主要发现

• 线性化多项式代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 同构于复合代数 $\mathbb{F}_{q^{n}}^{\vee} \otimes_{\mathbb{F}_{q}} \mathbb{F}_{q^{n}}$，为研究线性化多项式提供了新框架。
• 线性化多项式代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$ 同时同构于狄克逊矩阵代数 $\mathscr{D}_{n}(\mathbb{F}_{q^{n}})$，使得多项式性质的矩阵理论分析成为可能。
• 线性化多项式的秩等于其关联狄克逊矩阵的秩，推广了狄克逊关于置换多项式的判别准则。
• 狄克逊矩阵的伴随本身也是一个狄克逊矩阵，从而允许定义具有保持结构特性的伴随多项式。
• 当 $n=mt$ 时，$m|n$ 的子代数 $\mathscr{L}_{n}(\mathbb{F}_{q^{m}})$ 同构于分块循环矩阵代数 $\mathscr{B}\mathscr{C}_{t,m}(\mathbb{F}_{q})$，同时也同构于 $\mathscr{M}_{m}(\mathbb{F}_{q}[x]/(x^{t}-1))$，从而简化了其表示。
• 利用新同构关系，以更系统和简化的方式推导出线性化多项式的迹表示，特别是在 $m=1$ 的情况下。