[论文解读] Linearized stability analysis of Caputo-Katugampola fractional-order nonlinear systems

D. Boucenna, Abdellatif Ben Makhlouf+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Advanced Control Systems Design被引用 4

一句话总结

本文为阶数 $\alpha \in (0,1)$ 且形状参数 $\rho > 0$ 的 Caputo-Katugampola 分数阶非线性系统建立了线性化渐近稳定性准则。通过将线性部分变换为近似对角形式，并构造一个 Lyapunov-Perron 算子，作者证明：若线性化系统渐近稳定（即矩阵 $A$ 的所有特征值满足 $|\arg(\lambda)| > \alpha\pi/2$），则非线性系统继承此稳定性。该结果将先前针对 Caputo 分数阶系统的成果推广至更一般的 Caputo-Katugampola 框架。

ABSTRACT

In this paper, a linearized asymptotic stability result for a Caputo-Katugampola fractional-order systems is described. An application is given to demonstrate the validity of the proposed results.

研究动机与目标

• 将线性化稳定性理论从 Caputo 扩展至 Caputo-Katugampola 分数阶系统。
• 建立非线性 Caputo-Katugampola 系统零解渐近稳定的充分条件。
• 将 $\rho = 1$ 时的现有结果推广至任意 $\rho > 0$，从而扩大其在更广泛分数阶动力系统中的适用性。
• 通过在分数阶 Lorenz 系统上应用理论框架，验证该理论方法的有效性。

提出的方法

• 通过相似变换将系统矩阵 $A$ 转化为接近对角的形式，以简化稳定性分析。
• 定义一个 Lyapunov-Perron 算子，将非线性系统的解映射到不动点，从而借助不动点理论进行稳定性分析。
• 采用 Caputo-Katugampola 分数阶导数建模系统动力学，同时引入分数阶阶数 $\alpha$ 和形状参数 $\rho$。
• 利用半群性质及 Mittag-Leffler 函数的性质，对解的范数进行估计并控制其增长。
• 建立非线性项 $f(x)$ 的 Lipschitz 常数 $\ell_f(r)$ 的界，以确保解收敛至零。
• 通过证明解范数的上极限被一个小于 1 的压缩因子所控制，从而验证稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Caputo-Katugampola 分数阶非线性系统的零解在何种条件下渐近稳定？
• RQ2 与经典 Caputo 情况（$\rho = 1$）相比，形状参数 $\rho$ 的引入如何影响稳定性准则？
• RQ3 Caputo 系统的线性化稳定性结果能否推广至更一般的 Caputo-Katugampola 导数框架？
• RQ4 Lyapunov-Perron 算子在证明非线性分数阶系统渐近稳定性中起什么作用？
• RQ5 理论稳定性条件在具体非线性系统（如分数阶 Lorenz 系统）中如何应用与验证？

主要发现

• 若矩阵 $A$ 的所有特征值满足 $|\arg(\lambda)| > \alpha\pi/2$，则非线性 Caputo-Katugampola 系统的零解渐近稳定，该结果将经典稳定性条件推广至广义导数框架。
• 理论框架成功证明了在 $\alpha = 0.9$、$\rho = 1.2$ 及线性反馈控制器作用下，闭环 Caputo-Katugampola 分数阶 Lorenz 系统的渐近稳定性。
• 闭环系统矩阵 $A + BK$ 的特征值为 $\lambda_1 = -2.8229$、$\lambda_2 = -48.1771$ 和 $\lambda_3 = -3$，均满足 $|\arg(\lambda_i)| > \alpha\pi/2 \approx 1.4137$ 弧度。
• Lorenz 系统中非线性项的 Lipschitz 常数 $\ell_h(r)$ 足够小，使得 $\ell_h(r)C(\alpha,\lambda) < 1$，从而保证压缩性与收敛至零。
• 应用结果表明，所提出的方法可通过线性反馈控制有效稳定混沌分数阶系统。
• 基于 Lyapunov-Perron 算子与 Mittag-Leffler 函数的范数估计的证明技术，为非线性分数阶系统中的稳定性分析提供了稳健的解析路径。