[论文解读] Linearized stability theorem for invariant and quasi-invariant parabolic differential equations in Banach manifolds with applications to free boundary problems

Shangbin Cui|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文建立了一类在李群作用下不变或拟不变的巴拿赫流形上的抛物型偏微分方程的线性化稳定性定理——这类情形常见于自由边界问题——从而实现了对非孤立定常态解的稳定性分析。关键结果证明了当表面张力超过临界阈值时，肿瘤生长模型中的径向定常态解具有渐近稳定性，解决了该问题长达十余年来的长期开放难题。

ABSTRACT

If a differential equation in a Banach manifold is invariant or quasi-invariant under the action of one or more Lie groups, then its stationary points cannot be isolated, so that classical linearized stability theorem does not apply to it. The first main purpose of this paper is to establish a linearized stability theorem for parabolic differential equations in Banach manifolds which are either invariant or quasi-invariant under actions of a number of Lie groups. The second purpose of this paper is to apply this theorem to analyze stability of stationary solutions of some free boundary problems. In order to apply the abstract result to concrete free boundary problems, Banach manifold made up of certain kind of domains such as simple domains in ${\mathbf{R}}^n$ is a fundamental tool which seems to have not been well-studied in the literature yet. Hence in this paper we also make some basic investigation to a such manifold. In Section 5 we use Nash-Moser implicit function theorem to prove an interesting result for an obstacle problem which says that if the domain $Ω$ of this obstacle problem is a small perturbation of a sphere then its interface $Γ$ is smooth and depends on $Ω$ smoothly. By using these results, in the last section we prove asymptotic stability of radial stationary solution of a free boundary problem modeling the growth of necrotic tumors, which has been kept open for over ten years.

研究动机与目标

• 为在李群作用下不变或拟不变的巴拿赫流形上的抛物型微分方程发展线性化稳定性定理，其中经典稳定性理论因非孤立定常态点而失效。
• 将抽象稳定性定理应用于自由边界问题，特别是肿瘤生长和液滴动力学的建模，其中对称性导致定常态解的连续族。
• 研究 ℝⁿ 中简单区域的流形，特别是球面，作为在巴拿赫空间设定下分析自由边界问题的基础结构。
• 解决径向定常态解在特定物理参数下于坏死肿瘤生长模型中渐近稳定性的长期开放问题。

提出的方法

• 在巴拿赫流形上形式化李群作用下的不变性与拟不变性概念，确保定常态解的连续族存在。
• 通过分析定常态点处弗雷chet导数的谱界，建立修正的线性化稳定性准则，考虑由对称性引起的核空间。
• 利用Nash-Moser隐函数定理证明自由边界界面关于区域扰动的光滑依赖性，尤其针对球面的小扰动。
• 将抽象稳定性定理应用于建模坏死肿瘤生长的自由边界问题，将问题约化为区域流形中的径向定常态解。
• 通过球面上的谱论分析线性化算子，利用椭圆伪微分算子和弗雷德霍姆理论，依据谱界确定稳定性。
• 利用线性化算子的核与值域构造中心流形与稳定流形的分解，从而在适当条件下实现解对径向解的渐近收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将线性化稳定性定理扩展至在李群作用下不变或拟不变的巴拿赫流形上的抛物型方程，其中定常态点并非孤立？
• RQ2 在物理参数约束下，建模坏死肿瘤生长的自由边界问题的径向定常态解是否仍保持渐近稳定？
• RQ3 当区域接近球面时，自由边界界面在小区域扰动下的行为如何？
• RQ4 表面张力系数在对称自由边界问题中对定常态解稳定性的影响是什么？

主要发现

• 当表面张力系数超过临界阈值 γ* 时，建模坏死肿瘤生长的自由边界问题的径向定常态解是渐近稳定的。
• 当表面张力系数 γ > γ* 时，线性化算子的谱界在零以外为负，且在零处的导数核为三维，对应于球面的刚性平移。
• 线性化算子的值域是闭的，且巴拿赫空间可分解为核与值域的直和，确保中心流形约化方法的适用性。
• 对于初始区域接近球面的情形，解收敛于径向解的平移版本，收敛在区域流形上的 C^1 拓扑中成立。
• 当区域为球面的小扰动时，障碍问题的界面是光滑的，且关于区域光滑依赖，此结论由Nash-Moser定理确立。
• 当 γ < γ* 时，径向解出现不稳定，因为谱界变为正，表明径向方向上扰动呈指数增长。