[论文解读] Linearizing Combinators

Robin Cockett, Jean-Simon Pacaud Lemay|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Polynomial and algebraic computation被引用 4

一句话总结

本文提出线性化组合子作为笛卡尔微分范畴的替代公理化体系，表明微分组合子可从一组此类组合子中重构。研究证明，在笛卡尔闭范畴中，整体线性化组合子可导出部分线性化组合子，从而为标准微分组合子方法提供一种对偶视角。

ABSTRACT

In 2017, Bauer, Johnson, Osborne, Riehl, and Tebbe (BJORT) showed that the Abelian functor calculus provides an example of a Cartesian differential category. The definition of a Cartesian differential category is based on a differential combinator which directly formalizes the total derivative from multivariable calculus. However, in the aforementioned work the authors used techniques from Goodwillie's functor calculus to establish a linearization process from which they then derived a differential combinator. This raised the question of what the precise relationship between linearization and having a differential combinator might be. In this paper, we introduce the notion of a linearizing combinator which abstracts linearization in the Abelian functor calculus. We then use it to provide an alternative axiomatization of a Cartesian differential category. Every Cartesian differential category comes equipped with a canonical linearizing combinator obtained by differentiation at zero. Conversely, a differential combinator can be constructed à la BJORT when one has a system of partial linearizing combinators in each context. Thus, while linearizing combinators do provide an alternative axiomatization of Cartesian differential categories, an explicit notion of partial linearization is required. This is in contrast to the situation for differential combinators where partial differentiation is automatic in the presence of total differentiation. The ability to form a system of partial linearizing combinators from a total linearizing combinator, while not being possible in general, is possible when the setting is Cartesian closed.

研究动机与目标

• 填补对阿贝尔函子微积分中线性化与笛卡尔微分范畴中微分组合子之间关系理解的空白。
• 受 BJORT 基于古德温尼函子微积分的构造启发，提出使用线性化组合子对笛卡尔微分范畴进行替代公理化。
• 探究线性化组合子是否可作为等价于微分组合子的基础结构。
• 探讨在何种条件下，可从整体线性化组合子导出部分线性化组合子，特别是在笛卡尔闭范畴中。

提出的方法

• 将线性化组合子的概念引入为阿贝尔函子微积分中线性逼近的抽象化。
• 通过在第一个参数处对微分组合子在零处求值，定义任意笛卡尔微分范畴中的典范线性化组合子：$\mathsf{L}[f] = \mathsf{D}[f](0, -)$。
• 在每个上下文中，通过 BJORT 方法从一组部分线性化组合子构造微分组合子。
• 在笛卡尔闭范畴中，建立整体微分组合子、线性化组合子系统与可指数化的线性化组合子之间的双射对应关系。
• 利用范畴对偶性，将笛卡尔微分范畴中的线性化组合子与张量微分范畴中的余导子和导出变换联系起来。
• 证明线性化组合子可对广义结构（如广义笛卡尔微分范畴和微分限制范畴）提供等价公理化。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性化组合子能否作为笛卡尔微分范畴中微分组合子的基础替代？
• RQ2 阿贝尔函子微积分中的线性化与笛卡尔微分范畴结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，整体线性化组合子可生成一组部分线性化组合子？
• RQ4 笛卡尔闭结构的存在如何影响从整体线性化组合子导出部分线性化组合子？
• RQ5 线性化组合子框架能否扩展至广义微分范畴（如微分限制范畴或切范畴）？

主要发现

• 每个笛卡尔微分范畴都存在一个由在第一个参数处对微分组合子在零处求值而定义的典范线性化组合子。
• 可从每个上下文中的部分线性化组合子系统重构微分组合子，其方式与 BJORT 构造相一致。
• 在笛卡尔闭范畴中，整体线性化组合子可导出一组部分线性化组合子，从而实现微分结构的完整重构。
• 在笛卡尔闭设置中，整体微分组合子、线性化组合子系统与可指数化的线性化组合子之间存在双射对应关系。
• 线性化组合子提供了与标准微分组合子方法等价的公理化体系，为经典线性逼近与微分之间的联系提供了代数化表述。
• 该框架可自然地推广至广义情形，表明线性化可能构成更广泛范畴模型中微分的底层结构，包括非光滑分析中的情形。