[论文解读] Linearly foliated Calabi-Yau n-folds I. First-order deformations

Antonio J. Ricco|ArXiv.org|Dec 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了作为非奇异射影代数簇上向量丛总空间构造的线性叶状化卡拉比-丘 $n$-流形的一阶形变。通过利用联络列与上同调分裂，将形变空间分解为竖直与水平分量，识别出保持卡拉比-丘结构的条件，特别是与对偶丛的对称代数相关的典范丛消去条件。

ABSTRACT

We consider classes of noncompact n-folds with trivial canonical bundle, that are linear foliations on nonsingular projective varieties, in general without a projection to the base. We obtain them as first-order deformations of total spaces of vector bundles on those varieties.

研究动机与目标

• 理解在非奇异射影代数簇上具有平凡典范丛的向量丛总空间的一阶形变。
• 刻画哪些此类形变保持卡拉比-丘条件，即典范丛的平凡性。
• 利用联络列与基空间上的上同调，将形变空间 $H^1(V, T_V)$ 分解为竖直与水平分量。
• 以对偶丛的对称幂形式，导出卡拉比-丘形变的显式上同调条件。
• 分析秩-$r$ 向量丛在非奇异曲线上的特殊情况，将问题约化为线丛形变与幂级数展开。

提出的方法

• 利用联络正合列 $0 \to \pi^*V \to T_V \to \pi^*T_M \to 0$ 在总空间 $V$ 上诱导出上同调的长正合列。
• 应用同构 $H^i(V, \pi^*E) \simeq H^i(M, E \otimes \mathrm{Sym} V^*)$，将 $V$ 上的上同调表示为基空间 $M$ 上的上同调。
• 将 $H^1(V, T_V)$ 分解为 $H_{\text{vert}} \oplus H_{\text{horiz}}$，其中 $H_{\text{vert}} = H^1(M, V \otimes \mathrm{Sym} V^*) / \mathrm{im}(\delta_1)$ 且 $H_{\text{horiz}} = \ker(\delta_2: H^1(M, T_M \otimes \mathrm{Sym} V^*) \to H^2(M, V \otimes \mathrm{Sym} V^*))$。
• 引入由微分 $\partial: T_V \to \mathcal{O}_V$ 诱导的映射 $\partial^\#: H^1(V, T_V) \to H^1(V, \mathcal{O}_V)$，其核识别出保持卡拉比-丘结构的形变。
• 在曲线情形下，通过上同调的Čech方法显式计算形变，将过渡函数表示为纤维坐标上的幂级数。
• 导出卡拉比-丘条件为形变系数上的偏微分方程组：$\frac{\partial}{\partial z_\beta} \rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta} = -\sum_{j=1}^r (m_j+1) \sigma^{j(m_1\cdots m_j+1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将向量丛 $V$ 在非奇异射影代数簇 $M$ 上的总空间的一阶形变空间 $H^1(V, T_V)$ 分解为几何上有意义的分量？
• RQ2 基空间 $M$ 与向量丛 $V$ 需满足何种条件，才能保证 $V$ 的形变保持卡拉比-丘结构（即典范丛平凡）？
• RQ3 典范丛形变映射 $\partial^\#$ 如何与形变空间中卡拉比-丘条件的保持相关联？
• RQ4 当 $V$ 是非奇异曲线 $\Sigma$ 上的向量丛时，一阶形变的显式形式为何，特别是以线丛分解形式表示？
• RQ5 在曲线情形下，形变系数 $\rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ 与 $\sigma^{j(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ 如何满足卡拉比-丘条件？

主要发现

• 一阶形变空间 $H^1(V, T_V)$ 可自然地分解为通过基空间 $M$ 上同调群定义的竖直与水平分量，其中 $H_{\text{vert}}$ 与 $H_{\text{horiz}}$ 如本文所定义。
• 总空间 $V$ 上的卡拉比-丘条件等价于 $\det V \simeq K_M$，且当 $\partial^\#$ 的像为零时，该条件在形变下保持不变。
• 对于非奇异曲线 $\Sigma$ 上的向量丛，形变系数 $\rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ 属于 $H^1(\Sigma, K_\Sigma^{-1} \otimes \phi_1^{-m_1} \cdots \phi_r^{-m_r})$，而 $\sigma^{j(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ 属于 $H^1(\Sigma, \phi_1^{-m_1} \cdots \phi_j^{-(m_j-1)} \cdots \phi_r^{-m_r})$。
• 卡拉比-丘条件约化为形变系数上的偏微分方程组：$\frac{\partial}{\partial z_\beta} \rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta} = -\sum_{j=1}^r (m_j+1) \sigma^{j(m_1\cdots m_j+1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$。
• 当 $V$ 为线丛直和 $\phi_1 \oplus \cdots \oplus \phi_r$ 时，形变数据可完全由纤维坐标中过渡函数的上同调类描述。
• $\partial^\#$ 的核精确识别出保持卡拉比-丘结构的一阶形变，从而提供此类形变的上同调判别准则。